UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 5 – Questão 10
Qual dos seguintes pares de função abaixo formam um conjunto fundamental de soluções para a equação
Escolha uma opção:
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:
E aí a derivada primeira e segunda são:
E pra sabermos quais valores de solucionam essa equação (que são os valores de e na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:
E como para termos solução não trivial e para qualquer , então podemos dividir toda essa equação por e ficamos com a equação característica:
Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.
Passo 2
E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:
E daqui saem as duas raízes:
Como as raízes são iguais precisamos ter uma solução e outra solução que seja linearmente independente a ela!
Para obtermos isso, a maneira mais simples é multiplicar nossa exponencial por um polinômio de ordem um!
Assim a segunda solução fica
E a solução geral é:
Passo 3
O único par de solução que tem isso é a alternativa (b):
Notem que o argumento das exponenciais deve ser igual! Não podemos mudar isso, pois é a essência da nossa solução!
Tranquilo?
Até a próxima!