Verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.
Passo 1
Vimos na teoria que a solução geral de uma EDO não homogênea é dada por :
Onde é a solução geral da equação homogênea associada e é a solução particular da equação não homogênea.
Podemos identificar como sendo a solução particular pois os termos não estão multiplicados por constantes como e .
Logo
Passo 2
Já identificamos , agora vamos substituir na equação não homogênea a fim de verificar se é mesmo solução da não homogênea. Primeiro vamos encontrar suas derivadas.
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando o lado esquerdo temos:
Portanto temos:
Logo é mesmo solução particular da equação não homogênea.
Passo 3
Agora vamos analisar , que é a solução geral da equação não homogênea associada.
Vimos que a solução geral da equação não homogênea de ordem 2 é dada por:
Onde e formam o conjunto fundamental de soluções da equação não homogênea.
Temos:
Logo:
Agora, temos de verificar se e formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada:
E como faremos isso? Primeiro temos de verificar se e satisfazem equação acima e depois utilizar o teorema do Wrosnkiano para verificar se eles formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO.
Passo 4
Vamos verificar primeiro se é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:
Substituindo temos:
Portanto é mesmo solução da homogênea.
Vamos verificar agora se é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:
Substituindo temos:
Ajeitando:
Portanto é mesmo solução da homogênea.
Passo 5
Agora só falta verificar se e formam o conjunto fundamental de soluções da parte homogênea. O teorema diz assim:
Considere a EDO a seguir:
Seja e soluções dessa EDO. Seja também o intervalo onde e são contìnuas.
e formam o conjunto fundamental de soluções em se para todo .
No nosso caso, a EDO é:
Nosso e . Temos também e , que são contínuas em . Vamos agora calcular o Wronskiano. Temos:
Podemos ver que nunca se anula.
Logo, e formam o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada.
Passo 6
Verificamos então que é mesmo solução particular da EDO não homogênea, e verificamos também que é a solução geral da equação homogênea associada.
Portanto é mesmo a solução geral da EDO no intervalo .
Resposta
é mesmo solução geral da equação no intervalo .