Considere a equação diferencial ordinária:
Onde e são constantes e .
Suponha que as soluções da EDO são do tipo , e obtenha um conjunto fundamental de soluções reais.
Passo 1
Cara, se a gente vai começar supondo que é solução da EDO, ele e suas derivadas precisam respeitar a relação acima. Então:
Daí, substituindo isso na EDO:
Colocando a exponencial em evidência:
Porém, sabendo que , temos que:
Opaaaa! Que maravilha!!! Nosso problema se resumiu a uma equação do segundo grau :D
Passo 2
Podemos resolver como já estamos acostumados. Primeiro, vamos encontrar o delta:
E então nossas raízes serão:
Beleza. Mas repara no seguinte: o enunciado diz que , isso quer dizer que tem um número negativo naquela raiz, vamos envolver números complexos nessa história!
Vou colocar o em evidência dentro da raiz, para que assim a gente possa tirar o de lá!
Agora, só para melhorar visualmente nossa resolução, vamos chamar:
Então nossas raízes podem ser escritas como:
Passo 3
E a solução será:
Show! Estamos chegando ao fim. Porém, o enunciado pede que você obtenha um conjunto fundamental de soluções reais, então não podemos deixar assim!
Sabe quem vai nos ajudar? Nosso amado Euler! Olha a fórmula dele:
Vamos aplicar aqui:
Cara, você tem ali dois caras que são funções de , um está multiplicado por e o outro está multiplicado por . Lembre-se de que é uma constante!!! Então, no final das contas, você tem uma combinação linear de duas possíveis soluções. Olha que maneiro! Vou escrever assim:
Passo 4
Para te mostrar que eles são soluções, vamos substituir e suas derivadas na EDO e encontrar , ok?
Substituindo na EDO:
Novamente, a gente pode cortar a exponencial de todos os termos, ficando com:
Amigx, infelizmente teremos que substituir os valores de e para conseguirmos chegar a algum lugar. Já aviso, não será bonito, mas vai dar certo.
Simplificando os termos:
Cortou geral!
Passo 5
Agora faremos o mesmo para :
Substituindo na EDO:
Novamente, a gente pode cortar a exponencial de todos os termos, ficando com:
Amigx, infelizmente teremos que substituir os valores de e para conseguirmos chegar a algum lugar. Já aviso, não será bonito, mas vai dar certo.
Simplificando os termos:
Cortou geral!
Passo 6
Só resta provar que e formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos usar o meu amigo Wronskiano (Wronsky para os íntimos):
E para ser , temos que ter para qualquer real:
Isso é sempre diferente de zero, pois se trata de uma exponencial.
Passo 7
Agora que já provamos tudo isso, podemos afirmar que:
Onde:
Finalmente, acabamos.