Qual dos seguintes pares de função abaixo formam um conjunto fundamental de soluções para a equação y'' + 9y = 0

Escolha uma opção:

  1. e^t * cos(3t), e^t * sen(3t)
  2. Nenhuma alternativa
  3. cos(-3t), sen(3t)

Passo 1

Tudo belezinha?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ t

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' + 9 y = 0

A λ 2 e λ t + 9 A e λ t = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ t ≠ 0 para qualquer t , então podemos dividir toda essa equação por A e λ t e ficamos com a equação característica:

λ 2 + 9 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 + 9 = 0

São raízes imaginárias:

λ = ± 3 i

E aí a solução fica uma combinação de senos e cossenos com exponencial. Como relembrar é viver, vamos rever como é a solução mais geral. Se tivermos raízes imaginárias do tipo:

λ = a ± b i

Então a solução é:

y = c 1 e a t s e n b t + c 2 e a t c o s ⁡ ( b t )

Passo 3

No nosso caso a = 0 e b = 3 , então a solução fica assim:

y = c 1 e 0 t s e n 3 t + c 2 e 0 t cos ⁡ 3 t = c 1 s e n 3 t + c 2 c o s ⁡ ( 3 t )

E a alternativa que nos diz isso é a (c) – Lembrem-se que o cosseno é uma função par e que cos ⁡ a = c o s ⁡ ( - a ) .

Tranquilo?

Até a próxima!

Resposta

( c )

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