Considere a equação diferencial
- Enuncie o teorema de Wronskiano de soluções para equações lineares de ordem
- Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções em
- Porque o Wronskiano ser igual a zero em não contradiz esse teorema?
Passo 1
a)
O teorema diz
Sejam e duas soluções da equação diferencial
Onde e são continuas em um intervalo aberto .
Então e formam um conjunto fundamental de soluções em se o wronskiano é tal que para todo que pertence ao intervalo vamos ter o wronskiano sendo diferente de .
O wronskiano é definido por
Passo 2
b)
Para vermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções primeiro temos que ver se elas são realmente soluções da nossa EDO
Vamos começar fazendo
Substituindo na equação vamos ter
Então ela é uma solução da nossa EDO
Vamos fazer agora
Substituindo na nossa EDO
Então ela é uma solução da nossa EDO
Passo 3
Agora que conferimos que elas são soluções vamos calcular seu Wronskiano
Então
E vamos ter que é zero somente em , como o intervalo que ele deu não inclui o zero, temos que e formam um conjunto fundamental de soluções em
Passo 4
c)
Se escrevermos a nossa equação diferencial da forma que está no teorema vamos ter
Repare que o ponto não está nas hipóteses do teorema já que as funções
E
São descontinuas em , então não teremos um intervalo que tenha o .
Resposta
Demonstração nos passos acima