Consideramos um satélite de em uma órbita aproximadamente circular acima da superfície da Terra. Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de por revolução orbital. Considerando o raio da Terra , a massa da Terra e .
- Quais são a velocidade e o período do satélite na órbita inicial?
- Calcule a energia mecânica do satélite na órbita inicial
- Usando a aproximação que a órbita do satélite se torna uma circunferência cujo raio diminui lentamente, determine a altitude e a velocidade ao final da revolução número
- Determine o módulo da força restauradora média que a atua sobre o satélite.
Passo 1
No caso de uma órbita circular a força gravitacional faz o papel de força centrípeta, ou seja,
O raio da trajetória é o raio da Terra somada com a altura do satélite até o solo da Terra, assim
Agora substituindo tudo no cálculo da velocidade
Passo 2
Já o período é o tempo que o satélite gasta para dar uma volta completa
Passo 3
A energia mecânica é a soma da energia potencial com a energia cinética, ou seja
Como já vimos que , então
Passo 4
Para cada revolução o satélite perde , assim em voltas o satélite irá perder
Assim a energia mecânica do satélite passará a ser
No passo anterior vimos que podemos escrever a energia mecânica como
O raio da trajetória será
Como o raio da Terra é a nova altitude será
Passo 5
Já vimos que a velocidade é dada por
Então basta substituir!
Passo 6
Vamos supor que a força restauradora atua na direção radial. Assim o trabalho dessa força será
Ou seja, essa força diminui o raio da nossa trajetória, uma certa quantidade e para isso realiza um trabalho .
Como temos os raios inicial e final basta fazer
Passo 7
O trabalho da força restauradora vai ser a variação de energia potencial, ou seja, é o que calculamos no passo
Obs: se estivéssemos falando do trabalho da força gravitacional. No caso estamos falando de outra força qualquer que removeu energia do sistema.
Assim a força média é dada por
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)