UTFPR - Pato Branco - Física 1 - Listas - Teste 9 - Listas Prof. Marcelo Sandrini - Lista 4 - Questão 13
Um objeto de sofre a ação de uma força conservativa dada por , com em newtons e em metros. Tome a energia potencial associada a essa força como sendo nula quando o objeto está em . Qual é a energia potencial associada a essa força quando o objeto está em ? se o objeto possui uma velocidade de no sentido negativo do eixo quando está em , qual é a sua velocidade ao passar pela origem? Quais são as respostas dos itens e se a energia potencial do sistema é tomada como sendo quando objeto está em ?
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos aqui um objeto de sob a ação de uma força conservativa dada por
Como esta força é conservativa, temos que a ela está relacionada uma função potencial (Que é utilizada para se obter a energia potencial), em particular, o enunciado nos pede para considerar que em a nossa energia potencial é nula. Mas como obtemos esta energia potencial?
Precisamos utilizar que uma força conservativa é obtida através da seguinte relação com a função potencial
em que é o operador gradiente, como temos um sistema unidimensional, apenas na direção x, temos que isso se reduz à
Maravilha! Usando esta relação para obter a função potencial podemos calcular a alternativa que nos pede para calcular a energia potencial em . E, podemos utilizar a conservação de energia para forças conservativas na forma
Para encontrar a velocidade na origem como pede a alternativa . A alternativa é um repeteco de ambas as alternativas anteriores, apenas teremos que mudar a nossa função potencial devido a nova escolha de referencial que indica em . Belezinha? Vamos lá!
Passo 2
Primeira coisa, vamos achar a nossa função potencial através da definição
Note que se multiplicarmos ambos os lados por , temos que
Como temos que em , , e em qualquer, temos um qualquer, podemos integrar em ambos os lados para obter
Resolvendo o lado esquerdo e substituindo a força dada no enunciado do lado direito, temos que
A função potencial tem então a forma
Utilizando que
e também que
Temos a nossa função potencial com o seguinte formato
De forma que em , temos simplesmente que
A primeira alternativa já foi! Vamos seguir para a próxima!
Passo 3
O problema nos indica que a velocidade da partícula é em módulo quando temos , de forma que a energia cinética neste ponto é
e, a energia potencial é
Em teremos que e também que . Portanto, a conservação de energia nos diz que
Ou seja, temos que
Isolando temos que
Ótimo! Agora, consegue me dizer o que irá mudar se ? Se conseguir perceber, pode fazer a por conta própria! Mas na dúvida! Vem comigo!
Passo 4
A diferença é no limite inferior da integral que realizamos para obter a função potencial! Note que agora como em temos que , a nossa integral toma o seguinte formato
Que pode ser resolvida da mesma forma que fizemos anteriormente, mas agora teremos que
Ou seja, temos que
A mudança causou um deslocamento de na função potencial, portanto, temos que
Ou seja, temos que . Agora, para a velocidade, temos que a diferença aparece apenas quando calculamos , mas note que e que . Portanto, temos que
Ou seja, como os cancelam, temos que
E, não há motivo para que a mudança de referencial altere a velocidade do objeto! O que faz sentido físico! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!