4. Considere a função dada por
Determine para que seja diferenciável em .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que achar para que a função seja difereciável. Então para fazermos essa questão temos que lembrar que para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.
Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.
Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar: ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de .
Agora bora aplicar!
Passo 2
Então, galerinha, para uma função ser diferenciavel temos que atender ao primeiro critério que é a continuidade.
E para que essa função seja continua, temos que os limites laterais sejam iguais.
Calculando o primeiro limite ficamos com
Para que a função seja continua, temos então que
Logo,
Ou seja, para que a função seja diferenciavel é necessário que .