A função f é dada por f(x) = raiz((x - 1) / (x^4 + 1)) e, portanto, ln[f(x)] = ln[x - 1] / 2 - ln[x^4 + 1] / 2 . Derive ambos os lados da equação acima e encontre uma expressão para f'(x).

Passo 1

Opa, e aí galerinha!! Vamos fazer exatamente o que o enunciado nos disse para fazermos, vamos derivar os dois lados:

d d x ln ⁡ f x = d d x ln ⁡ x - 1 2 - d d x ln ⁡ x 4 + 1 2

Bem, lembrando da derivada de ln ⁡ u → d d u ln ⁡ u = d u u

Passo 2

Partindo desse princípio, vamos fazer a derivadas separadas, beleza?

d d x ln ⁡ f x = f ' x f x

Vamos fazer a outra parcela

d d x ln ⁡ x - 1 2 = 1 2 d d x ln ⁡ x - 1

1 2 d d x ln ⁡ x - 1 = 1 2 × 1 x - 1 = 1 2 x - 2

E finalmente a próxima:

d d x ln ⁡ x 4 + 1 2 = 1 2 4 x 3 x 4 + 1

Passo 3

Substituindo:

f ' x f x = 1 2 x - 2 - 1 2 4 x 3 x 4 + 1

f ' x = f x 2 1 x - 1 - 4 x 3 x 4 + 1  

Resposta

f ' x = f x 2 1 x - 1 - 4 x 3 x 4 + 1

Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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