Sendo , calcule as derivadas laterais de no ponto .
Passo 1
Ué, perai, essa função não é definida por partes, as derivadas laterais vão ser com certeza iguais.
Pêêêêêêê
Não tão rápido meus caros. Isso ai não vai ser necessariamente verdade. O jeito da gente descobrir se é ou não e fazer a questão direito é lembrar da definição de módulo e aplicar nessa função. Veja bem:
Então pra nossa função, vamos ter:
Ou ainda:
E ai sim conseguimos trabalhar. Então partiu!
Passo 2
Vamos ver se esse cara é contínuo em . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:
Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda
Observa que é definida pela mesma expressão , ou seja, E, agora, vamos calcular o limite pela direita:
Portanto, contínua em ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.
Passo 3
A derivada pela esquerda, em relação ao ponto , vai ter como fórmula o seguinte:
Como :
Já a derivada pela direita, em relação ao ponto , vai ter como fórmula o seguinte:
Como :
Ou seja, a nossa função até era contínua, mas não possuía derivadas laterais iguais em