3. Para , mostre que e não existem.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que achar para que a função seja difereciável. Então para fazermos essa questão temos que lembrar que para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.
Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.
Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar: ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de .
Agora vamos analisar cada ponto!
Passo 2
Começando por ! Aqui nós estamos calculando a derivada pela direita, ou seja, nos aproximando por valores maiores que .
Calculando a derivada usando a definição:
Repara que temos uma constante dividindo por zero, logo esse limite vai para infinito. Como a derivada vai para infinito, a função não é diferenciavel.
Passo 3
Começando por ! Aqui nós estamos calculando a derivada pela direita, ou seja, nos aproximando por valores menores que .
Calculando a derivada usando a definição:
Repara que temos uma constante dividindo por zero, logo esse limite vai para infinito. Como a derivada vai para infinito, a função não é diferenciavel.
Resposta
Os limites associados a essas derivadas vão para infinito, logo a função não é diferenciavel neste ponto.