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Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Exercício 21345678910111213141516

Enunciado

Sendo f ( x ) a função

f x = 3 x 3 + e x ,     x ≤ 0 tanh ⁡ x + 1 ,                                             x > 0

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = 0 . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → 0 - ⁡ 3 x 3 + e x = 3 . 0 3 + e 0 = 1

Observa que x = 0 é definida pela mesma expressão 3 x 3 + e x , ou seja, f 0 = 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular o limite pela direita

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ tanh ⁡ x + 1

E aí pra gente calcular esse limite vai depender da gente lembrar quem é a tangente hiperbólica. Pra dar uma refrescada na memória:

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2 = e x - e - x e x + e - x

Sendo assim, o limite fica:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x - e - x e x + e - x + 1

lim x → 0 + ⁡ f x = e 0 - e - 0 e 0 + e - 0 + 1 = 1 - 1 1 + 1 + 1 = 1

Portanto, contínua em x = 0 ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 4

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( 3 x 3 + e x ) d x = 9 x 2 + e x

Como x = 0 :

f ' 0 - = 9 . 0 2 + e 0 = 1

Passo 5

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

d tanh ⁡ x + 1 d x = d sinh ⁡ x cosh ⁡ x + 1 d x = d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x

d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x ' cosh ⁡ x - sinh ⁡ x cosh ⁡ x ' cosh ⁡ x 2

d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x = cosh ⁡ x cosh ⁡ x + sinh ⁡ x sinh ⁡ x cosh ⁡ x 2 = cosh ⁡ x 2 + sinh ⁡ x 2 cosh ⁡ x 2

d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x = 1 + tanh ⁡ x 2

E como vimos, com x = 0 , a tangente hiperbólica tem valor 0 . Logo:

f ' 0 + = 1 + tanh ⁡ 0 2 = 1 + 0 2 = 1

Resposta

f ' 0 - = 1

f ' 0 + = 1

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