Considere a função real de duas variáveis reais dada por
- Em quais pontos admite derivadas parciais de primeira ordem? Determine e nestes pontos.
- Há pontos nos quais não possui derivadas parciais? Justifique.
Passo 1
Aqui temos uma função definida por partes, então podemos dizer que ela possui derivadas parciais em cada uma dessas partes.
Assim, ela possui derivadas parciais sempre que e .
Passo 2
Para encontrar as derivadas parciais, vamos precisar fazer isso para cada uma das partes que definimos no passo 1.
Para , temos que é a composição de funções polinomiais, assim, para derivá-la, é só fazer como estamos acostumados, com todas aquelas regrinhas de derivação, no caso, vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, quando , vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar ! Então vamos lá, para a derivada em relação a ,
Colocando , teremos:
Como ,
E aí está! Nossa derivada em relação a é !
Passo 4
Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a . Pela definição,
Como ,
Derivada parcial em relação a é !
Passo 5
Acabamos de dizer que se ou se então tem derivadas parciais e inclusive, calculamos essas derivadas parciais.
Olhando pra nossa função:
A gente pode ver que os pontos que atendem , mas e podem ser pontos problemáticos. Isso é um bom indício de que as derivadas parciais não estão definidas nesses pontos. Vamos ver?
Bom, nesse caso, a definição de também é , assim, para fazer essa derivada parcial, vamos precisar usar a definição novamente.
Para
E todos esses termos com no denominador, com o tendendo a zero pela direita vão tender ao infinito positivo.
E isso daí, vai dar infinito, né!
Ou seja, essa derivada não existe.
Do mesmo modo, quando :
Aqui nesse caso, temos algo parecido com o anterior, no entanto o termo , com valores negativos de tendendo a zero irá para mais infinito.
Enquanto o termo irá para menos infinito.
Mas o termo irá para mais infinito mais rapidamente e por isso:
E temos aí uma derivada que não existe também.
Passo 6
Além disso, se :
Ou seja, essa derivada não existe.
Do mesmo modo, quando :
Assim, as derivadas parciais não existem quando porém e
Resposta
possui derivadas parciais sempre que e .
Para :
Para :
As derivadas parciais não existem quando porém e .