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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

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Exercício 2134567891011121314

Enunciado

Seja w = f ( x , y , z ) uma função de três variáveis independentes. Use a definição para encontrar ∂ f ∂ y ( - 1,0 , 3 ) para a função

f x , y , z = - 2 x y 2 + y z ²

Passo 1

Para funções de duas variáveis, a definição é

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Para três variáveis vai ficar:

∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z o = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y , z 0 - f x 0 , y , 0 , z 0 y - y 0

Colocando x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1,0 , 3 ) , teremos:

∂ f ∂ y ( - 1,0 , 3 ) = lim y → 0 ⁡ f - 1 , y , 3 - f ( - 1,0 , 3 ) y - 0

Passo 2

Vamos calcular f - 1,0 , 3

f - 1,0 , 3 = - 2 - 1 0 2 + 0 3 2 = 0

Agora vamos substituir:

∂ f ∂ y - 1,0 , 3 = lim y → 0 ⁡ - 2 - 1 y 2 + y 3 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ 2 y 2 + 9 y y = lim y → 0 ⁡ y 2 y + 9 y

∂ f ∂ y - 1,0 , 3 = l i m y → 0   2 y + 9 = 9

Resposta

δ f δ y = 9

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