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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

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Exercício 4123567891011121314

Enunciado

Use a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais da função

f x , y = 1 - x + y - 3 x ² y

No ponto 1,2 .

Passo 1

Vamos começar pela derivada parcial em relação a x .

Pela definição:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 1,2 , teremos:

∂ f ∂ x 1,2 = lim x → 1 ⁡ f x , 2 - f 1,2 x - 1

Vamos calcular f 1,2

f 1,2 = 1 - 1 + 2 - 3 1 2 2 = - 4

Agora vamos substituir:

∂ f ∂ x 1,2 = lim x → 1 ⁡ 1 - x + 2 - 6 x ² - ( - 4 ) x - 1 = lim x → 1 ⁡ 7 - x - 6 x ² x - 1

Usando a regra de L’Hospital:

∂ f ∂ x 1,2 = lim x → 1 ⁡ 7 - x - 6 x ² x - 1 = l i m x → 1 - 1 - 12 x 1 = - 13

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 1,2 = lim y → 2 ⁡ f 1 , y - f 1,2 y - 2

Como f 1,2 = - 4 ,

∂ f ∂ y 1,2 = lim y → 2 ⁡ 1 - 1 + y - 3 ( 1 ) ² y - ( - 4 ) y - 2 = lim y → 2 ⁡ - 2 y + 4 y - 2

Pela regra de L’Hospital:

∂ f ∂ y 1,2 = lim y → 2 ⁡ - 2 y + 4 y - 2 = l i m y → 2 - 2 1 = - 2

Resposta

δ f δ x = - 13

δ f δ y = - 2

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