Seja a função definida por
Indique a afirmativa falsa:
- é constante ao longo da parábola
- é constante e igual a zero ao longo das retas e
- é constante ao longo da reta
- é descontínua na origem
- As derivadas parciais e existem e são iguais a zero.
Passo 1
Questão meio estranha, né?
Não dá pra saber direito por onde começar, o que que tem que fazer...
Mas ela tá falando sobre os valores da função por diferentes caminhos, fala de descontinuidade também... então, parece bastante que ela quer que a gente tente calcular limites ao longo desses caminhos e analise a continuidade da função.
Vamos começar calculando limites.
Passo 2
Primeiro ao longo da parábola
Então é verdade mesmo: a função é contínua ao longo da parábola e vale .
Passo 3
Agora vamos tentar os caminhos e .
Começando por :
E pelo caminho :
Verdade também então: a função é constante e igual a zero ao longo das retas e .
Passo 4
Agora vamos testar o cominho :
Agora é um momento crucial, de muita atenção!!
Se fizermos tender a , esse limite de fato vai pra zero e vamos ser tentados a dizer que a função é constante ao longo da reta .
Maaaas, isso não é uma verdade. Pois ser constante ao longo da reta significa que, para qualquer valor de , quando a função tivesse em cima dessa reta, ela deveria dar o mesmo valor.
E não é isso que acontece, pois se fizermos tender a , por exemplo, nossa função vai valer .
Ou seja, para a função ser constante ao longo da reta , a expressão final do limite não poderia depender de (nem de ). E é isso que acontece na letra , que resolvemos no passo 2.
Então, achamos nossa afirmativa falsa. Mas vamos continuar testando as outras pra provar porque elas são verdadeiras.
Passo 5
Na letra é o momento que vamos precisar analisar a continuidade da função na origem.
Mas na real, a gente meio que já fez isso.
Se você reparar, até aqui, já calculamos o limite da nossa função através de vários caminhos. E, mesmo que a gente não tenha entrado no mérito de se o tende a ou não (que a gente deveria fazer aqui, ao analisar a continuidade na origem), a gente já viu que independente disso, achamos valores diferentes conforme mudamos o caminho.
Isso significa que na real, esse limite não existe.
E se ele não existe, a função não pode ser contínua na origem.
Então essa afirmativa é verdadeira.
Passo 6
Para calcular as derivadas parciais de uma função definidas por partes, no ponto onde a função muda de definição, precisamos utilizar a definição de derivadas parciais, que é:
Então, temos mais uma verdade. As derivadas parciais existem e valem zero.