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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

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Exercício 9123456781011121314

Enunciado

UNICAMP, Cálculo 2, Prof. Rafael Leão e Marcos Jardim, P1 2014.1, 1

Mostre que a função:

f x , y = x 3 y 2 x 4 + y 4 ( x , y ) ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

É contínua no ponto 0,0 . Determine as derivadas parciais f x 0,0 e f y 0,0 .

Passo 1

Temos de verificar se l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0 para que f seja contínua em 0,0 . Vamos tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 4 + y 4 = 0 3 . 0 2 0 4 + 0 4 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Então tentamos usar o teorema do sanduíche. Para isso, vamos ajeitar o limita que queremos calcular. Temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 4 + y 4 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x   . x 2 x 4 + y 4 . y 2 x 4 + y 4

Beleza? Agora fica mais fácil de usar o teorema do sandíche. Veremos como.

Passo 3

Perceba que

0 ≤ x 2 = x 4

Porém:

0 ≤ x 2 ≤ x 4 + y 4

Pois y 4 ≥ 0

Ajeitando:

0 ≤ x 2 x 4 + y 4 ≤ 1

Passo 4

Usando o mesmo raciocínio para y 2 x 4 + y 4 , temos:

0 ≤ y 2 = y 4

Porém:

0 ≤ y 2 ≤ x 4 + y 4

Pois x 4 ≥ 0

Ajeitando:

0 ≤ y 2 x 4 + y 4 ≤ 1

Passo 5

Multiplicando essa ultima inequação por x 2 x 4 + y 4 , vamos ter:

0 ≤ y 2 x 4 + y 4 ≤ 1

0 ≤ y 2 x 4 + y 4 . x 2 x 4 + y 4 ≤ x 2 x 4 + y 4

Porém, vamos lembrar que:

0 ≤ x 2 x 4 + y 4 ≤ 1

Então:

0 ≤ y 2 x 4 + y 4 . x 2 x 4 + y 4 ≤ x 2 x 4 + y 4 ≤ 1

Logo:

0 ≤ x 2 y 2 x 4 + y 4 ≤ 1

Ou seja, x 2 y 2 x 4 + y 4 é limitado.

Passo 6

Finalmente, perceba que :

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 4 + y 4 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x .   x 2 y 2 x 4 + y 4

Logo, como x 2 y 2 x 4 + y 4 é limitado e lim x → 0 ⁡ x = 0 , pelo teorema do anulamento temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 4 + y 4 = 0

Já que l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0 , a função é contínua em 0,0

Passo 7

Calculando as derivadas parciais pela definição, temos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 0 x 4 - 0 x = l i m x → 0 0 x = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 0 y 4 - 0 y = l i m y → 0 0 y = 0

Resposta

∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0

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