Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

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Enunciado

Seja

f x , y = x 2 - y 2 x s e x ≠ 0 0 s e x = 0

a) Esboce, no sistema de coordenadas cartesiano, as curvas e nível 1 e 2 de f .

b) A função f é contínua em 0,0 ? Justifique.

c) Determine, caso exista, ∇ f 0,0 .

Passo 1

a) Curvas de nível? Basta pegar a função e igualar ao nível e descrever a curva!

Vamos fazer isso para o primeiro nível? Fica:

x 2 - y 2 x = 1

Desenvolvendo,

x 2 - y 2 = x

Passando o x para o lado esquerdo, temos:

x 2 - x - y 2 = 0

Completando o quadrado para o x , somando e subtraindo 1 4 , fica:

x 2 - x + 1 4 - 1 4 - y 2 = 0

Colocando o quadrado correspondente para o termo entre os parêntesis e passando o - 1 4 para o lado direito, fica:

x - 1 2 2 - y 2 = 1 4

Multiplicando tudo por 4 , teremos:

4 x - 1 2 2 - 4 y 2 = 1

E aí está a equação da nossa curva!

Passo 2

Vamos esboçá-la? Como temos x e y elevados ao quadrado, mas subtraídos um do outro, trata-se de uma hipérbole. Como o sinal positivo está no x , então ela tem as bocas apontadas para ele. Além disso, x 0 = 1 2 e y 0 = 0   na sua equação, logo, está centrada em 1 2 , 0 .

Pra ver os pontos que a curva corta o eixo x , façamos y = 0 :

4 x - 1 2 2 - 4.0 2 = 1

x - 1 2 2 = 1 4

Logo, ela corta o eixo x em x = 0 ou x = 1 !

Seu esboço fica:

Passo 3

Show, agora vamos fazer a mesma coisa para a curva de nível 2 ! Pare de ver a resolução e tente fazer por conta própria, é exatamente a mesma coisa :D

Vou escrever qualquer coisa aqui só pra você não ver o passo 4

Vou escrever qualquer coisa aqui só pra você não ver o passo 4

Vou escrever qualquer coisa aqui só pra você não ver o passo 4

Vou escrever qualquer coisa aqui só pra você não ver o passo 4

Vou escrever qualquer coisa aqui só pra você não ver o passo 4

Tá acho que já deve ter dado....

Passo 4

Beleza! Vamos lá, temos que começar igualando a função ao nível em questão:

x 2 - y 2 x = 2

Passando o x para o lado direito, fica:

x 2 - y 2 = 2 x

Passando, agora, o 2 x para o lado esquerdo,

x 2 - 2 x - y 2 = 0

Completando o quadrado...

x 2 - 2 x + 1 - 1 - y 2 = 0

Passando o - 1 pra direita e escrevendo o quadrado correspondente,

x - 1 2 - y 2 = 1

Show! Fechou a equação!

Passo 5

Novamente, temos uma hipérbole, pois as duas variáveis estão ao quadrado e com sinais trocados! Como o positivo está no x , ela abres as bocas para ele! Observando que x 0 , y 0 = 1,0 , então ela é centrada nesse ponto.

Pra ver os pontos que a curva corta o eixo x , façamos y = 0 :

x - 1 2 - 0 2 = 1

x - 1 2 = 1

Logo, ela corta o eixo x em x = 0 ou x = 2 !

Por fim, seu esboço:

Passo 6

b) Ok, chegou a hora de ver se a função é contínua em 0,0 ... Para isso, devemos verificar se o limite quando tendemos à origem é o mesmo que o valor que ela assume nesse ponto, ou seja, se esse limite vale 0 !

Mas... calma aí... Você percebeu algo de estranho nos gráficos que desenhamos para as curvas de nível?

Você viu que, para os dois níveis que esboçamos, x , y = 0,0 aparece em ambos? Sim, isso significa que, para um mesmo x e um mesmo y , no caso, 0,0 , temos dois valores para z = f x , y !

Em outras palavras, colocando 0,0 na função, temos z = 1 ou z = 2 ! Mas isso é impossível de acontecer numa função, pois, dada uma entrada, só podemos ter uma saída! Essa é a prova mais concreta que poderíamos esperar de que o limite não existe quando tendemos à origem, logo, ela não é contínua!

Passo 7

c) Partiu calcular essas derivadas! Vamos ter que usar a definição delas pelo limite...

Para a derivada em relação a x , basta resolver:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Colocando o valor de f 0,0 = 0 e f x , 0 , temos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 2 x - 0 x = x x = 1

E, assim, a derivada em relação a x vale 1 !

Passo 8

Para a derivada em relação a y , basta resolver:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Colocando os valores de f 0,0 e f 0 , y ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y

Repara que tanto f 0 , y quando f 0,0 vamos ter x = 0 então nos dois casos temos zero, por isso nosso limite fica 0 - 0 no numerador.

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y = 0

E, então a derivada em relação a y é 0 !

Assim, o vetor gradiente fica:

∇ f x , y = 1,0

E é isso aí :D Terminamos a primeira questão! Partiu questão 2 !

Resposta

a) Curva de nível 1 : 2 :

b) A função não é contínua

c)   ∇ f x , y = 1,0

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