UFES. Álgebra Linear. Prova: P2 Tarde. 2017.2. Questão: 2A.
Seja
(a) Determine uma base para o espaço nulo de A.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
A questão nos pediu para calcular a base para o espaço nulo da matriz .
Pra isso, vamos utilizar uma equaçãozinha que vai nos dar um conjunto de vetores. Com isso, o resultado esperado para esta questão será o espaço gerado pela combinação linear desses vetores.
Entendeu? Não é um bicho de 7 cabeças, mas pode ser um pouco trabalhoso. Bora lá!
Para calcular uma base para o espaço nulo de , vamos relembrar o que é espaço nulo.
Espaço nulo de uma matriz é o conjunto de soluções que satisfaz essa equação aqui:
Ou seja, o produto da matriz com um vetor resulta no vetor nulo , a ideia é encontrar o vetor que satisfaça essa equação.
Passo 2
Escrevendo a equação na forma matricial, temos
Observe que o número de variáveis do vetor deve ser igual o número de colunas da matriz
Ok? mão na massa!
Vamos escalonar a matriz na sua forma reduzida
Reorganizando a matriz
Com isso, temos o seguinte sistema
Passo 3
Vemos que tem duas variáveis que são independentes das outras variáveis, que são e . E as outras variáveis estão descritas em função dessas duas. Por causa disso, vamos definir e como:
e
A partir do sistema resultante que achamos no passo 2, vamos calcular a base do vetor com os “valores canônicos” de e
Substituindo no vetor vamos ter o vetor , onde
Fazendo o mesmo com o vetor , será
Logo, a base para o espaço nulo de , é dado pelos vetores
e
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
O espaço gerado pela combinação linear de e .