Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

Ver Teoria

Enunciado

5. Seja   X = v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 tal que v 3 = α 1 v 1 +   α 2 v 2 + α 4 v 4 mostre que o espaço gerado por v 1 ,   v 2 ,   v 4 é o mesmo espaço gerado por X .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema, o enunciado está nos dando um conjunto de vetores

X = v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4

Em que eu consigo escrever qualquer vetor de um determinado espaço como sendo combinação linear desses vetores do conjunto. O problema nos fala que um desses vetores, v 3 , é uma combinação linear dos outros vetores do conjunto: v 3 = α 1 v 1 +   α 2 v 2 + α 4 v 4

OPA!! Se um dos vetores do conjunto é combinação linear dos outros, isso simplifica um pouco as coisas... Pensa comigo em um vetor qualquer u que está nesse espaço gerado por X . Necessariamente ele tem que ter essa cara aqui: u = a v 1 + b v 2 + c v 3 + d v 4

Certo? Mas se o v 3 é uma combinação linear dos outros vetores: u =   a v 1 + b v 2 + c α 1 v 1 +   α 2 v 2 + α 4 v 4 + d v 4

Como a , b , c ,   d ,   α 1 ,   α 2 e α 4 são constantes manipulando um pouco essa expressão a gente vai chegar em algo do tipo: u = a ' v 1 + b ' v 2 + d ' v 4

Perceberam que o v 3 sumiu?Isso significa que o conjunto v 1 ,   v 2 ,   v 4 consegue gerar o mesmo espaço que X !!

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

O conjunto v 1 ,   v 2 ,   v 4 gera o mesmo espaço que X

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 4 0 - 1 3 6 2 0 - 1 4 - 2 3 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A - 3 6 2 5 - 4 0 2 13 8 - 1 3 - 1 2 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 2 3 - 1 4 1 2
Construa uma matriz cujo espaço nulo consista em todas as combinações lineares dos vetores v 1 =1 - 132 e v 2 =20 - 24
Suponha que x 1 = - 1 , x 2 = 2 , x 3 = 4 , x 4 = - 3 seja uma solução de um sistema linear não homogêneo A x = b e que o conjunto solução do sistema homogêneo A x = 0 seja dado pela fórmulas x 1 = -