Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

Sejam a , b , c ∈ R . Temos que os vetores

1,1 , 1 ,           a , b , c         e           ( a 2 , b 2 , c 2 )

geram R 3 se, e somente se:

  1. a > 0 , b > 0 e c < 0 ;
  2. a ≠ b , b ≠ c e a ≠ c ;
  3. a = b e b ≠ c ;
  4. a ≠ b e b = c ;
  5. a = b = c .

Passo 1

E aí, galerinha! Como vai?

Aqui nessa questão a gente tá sendo pedido que 1,1 , 1 , a , b , c e ( a 2 , b 2 , c 2 ) gerem o R 3 , certo? Mas então, vamos pensar juntos no seguinte: o R 3 tem dimensão 3 , o que significa que são necessários pelo menos 3 vetores para gerar ele todo! E no caso de serem só 3 , eles devem ser LI, certo? Porque se não forem, como pelo menos um deles é combinação linear dos outros, o espaço gerado tem dimensão de no máximo 2!

Ora ora, mas se então 1,1 , 1 , a , b , c e ( a 2 , b 2 , c 2 ) precisam ser LI para gerar todo o R 3 , por que não reformulamos a pergunta da seguinte forma: “que condições a , b , c devem cumprir para que os vetores 1,1 , 1 , a , b , c e a 2 , b 2 , c 2 sejam LI?”

Com a pergunta reformulada, agora a gente só precisa aplicar algum teste de independência linear e torcer que daí saia as tais condições sobre a , b , c que a gente procura. Show, né?

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Não tem um único jeito de testar se um conjunto de vetores é LI ou não, mas aqui a gente vai usar o seguinte: vamos colocar nossos vetores nas linhas de uma matriz e escalonar. Durante o processo de escalonamento, se uma linha zera, significa que ela era combinação linear das demais. No nosso caso então, precisamos garantir que nenhuma linha zere!

Bora lá:

1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2

Agora vamos executar as seguintes operações elementares:

  • Multiplicar a primeira linha por - a e somar com a segunda;
  • Multiplicar a primeira linha por - a 2 e somar com a terceira.

Feito isso, temos:

1 1 1 0 b - a c - a 0 b 2 - a 2 c 2 - a 2

Lembrando que b 2 - a 2 = ( b + a ) ( b - a ) e c 2 - a 2 = ( c + a ) ( c - a ) , podemos finalmente multiplicar a segunda linha por b + a e somar com a terceira, obtendo:

1 1 1 0 b - a c - a 0 0 ( c - a ) ( c - b )

Talvez não esteja claro como obtivemos o termo da linha 3 coluna 3, então vamos fazer juntos:

c 2 - a 2 - c - a b + a = ( c + a ) ( c - a ) - c - a b + a = c - a [ ( c + a ) - b + a ] = c - a ( c - b )

Entendeu? 😊

Passo 5

Bom, agora que temos a nossa matriz escalonada, vamos verificar quais condições precisamos para termos exatamente 3 pivôs, garantindo que os três vetores 1,1 , 1 , a , b , c e a 2 , b 2 , c 2 sejam LI.

Da linha 2 coluna 2, temos:

b - a ≠ 0

⇒ a ≠ b

Já da linha 3 coluna 3, temos:

c - a c - b ≠ 0

Se um dos fatores no produto acima der zero, o produto inteiro se anula. Logo, para que c - a c - b ≠ 0 , devemos ter:

c - a ≠ 0           e           c - b ≠ 0

Ou, em outras palavras:

a ≠ c           e           b ≠ c

A alternativa que satisfaz a todos esses critérios é a (b).

Curtiu? Que tal continuar estudando mais um pouco com a gente? :)

Resposta

(b) a ≠ b , b ≠ c e a ≠ c ;

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