Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 1 – P3 – 2017 – Questão 16

Sejam . Temos que os vetores

geram se, e somente se:

e ;

e ;

e ;

e ;

.

Passo 1

E aí, galerinha! Como vai?

Aqui nessa questão a gente tá sendo pedido que , e gerem o , certo? Mas então, vamos pensar juntos no seguinte: o tem dimensão , o que significa que são necessários pelo menos vetores para gerar ele todo! E no caso de serem só , eles devem ser LI, certo? Porque se não forem, como pelo menos um deles é combinação linear dos outros, o espaço gerado tem dimensão de no máximo 2!

Ora ora, mas se então , e precisam ser LI para gerar todo o , por que não reformulamos a pergunta da seguinte forma: “que condições devem cumprir para que os vetores , e sejam LI?”

Com a pergunta reformulada, agora a gente só precisa aplicar algum teste de independência linear e torcer que daí saia as tais condições sobre que a gente procura. Show, né?

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Não tem um único jeito de testar se um conjunto de vetores é LI ou não, mas aqui a gente vai usar o seguinte: vamos colocar nossos vetores nas linhas de uma matriz e escalonar. Durante o processo de escalonamento, se uma linha zera, significa que ela era combinação linear das demais. No nosso caso então, precisamos garantir que nenhuma linha zere!

Bora lá:

Agora vamos executar as seguintes operações elementares:

Multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda;
Multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira.

Feito isso, temos:

Lembrando que e , podemos finalmente multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira, obtendo:

Talvez não esteja claro como obtivemos o termo da linha 3 coluna 3, então vamos fazer juntos:

Entendeu? 😊

Passo 5

Bom, agora que temos a nossa matriz escalonada, vamos verificar quais condições precisamos para termos exatamente 3 pivôs, garantindo que os três vetores , e sejam LI.