Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

P1 de Álgebra Linear 1 da USP - 2017

Ver tudo sobre
Álgebra Linear 1 - USP

Seja A = v 1 → , v 2 → , v 3 → , v 4 → um subconjunto de V 3 com quatro elementos e assuma que todo v → ∈ V 3 possa ser escrito como combinação linear dos elementos de A. Considere as seguintes afirmações:

I   0 → ∈ A

I I   O conjunto A possui um subconjunto com três elementos que é uma base de V 3 ;

( I I I ) existe um vetor pertencente ao conjunto A que é combinação linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A

Assinale a alternativa certa

a apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

b apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

c apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

d apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

e apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;

Ver solução completa

Sejam v → , w → , z → ∈ V 3 vetores linearmente dependentes. Considere as seguintes afirmações:

I   o s   v e t o r e s   v → - w → , v → + 3 z → , w → - 2 z →     s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s

I I   o   v e t o r   v →   é   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   w →   e   z →

I I I   s e   v →   e   z →   f o r e m   n ã o   n u l o s   e   n ã o   p a r a l e l o s ,   e n t ã o   w →   s e r á   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   v →   e   z →

Assinale a alternativa correta

a   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I   e   I I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

b   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I   e   I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

c   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I I   e   I I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

d   a p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I I I   é   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a ;

e   a p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I   é   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a ;

Ver solução completa

Considere no espaço E 3 um trapézio ABCD, em que AB, BC, CD e AD são lados desse trapézio e os lados AD e BC são paralelos, como ilustrado na figura abaixo:

Seja M o ponto do segmento CD tal que C M → = 2 3 C D → . Suponha que:

A D → = 6 ,     A B → = C D → = 1

E que as medidas dos ângulos B A ^ D e C D ^ A sejam iguais a π 3 . Seja v → um vetor não paralelo ao plano que contém o trapézio ABCD e considere a base

B = A D → , A B → , v →

De V 3 . As coordenadas do vetor A M → na base B são:

a )   17 18 , 1 3 , 0

b )   1 18 , 2 3 , 0

c )   13 15 , 1 3 , 0

d )   7 18 , 2 3 , 0

e )   1 6 , 1 3 , 0

Ver solução completa

Sejam dados vetores v 1 → , v 2 → , v 3 →   ∈ V 3 e uma base B de V 3 . Considere o sistema linear

A x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3

Nas incógnitas reais x 1 , x 2   e   x 3 , em que A é a matriz 3 × 3 cujas colunas são v 1 → B , v 2 → B   e v 3 → B e b 1 ,   b 2   e   b 3 são números reais dados. Considere também as seguintes afirmações:

I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução;

I I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução se, e somente se, b 1 = b 2 = b 3 = 0 ;

I I I se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente dependentes, então esse sistema linear possuirá infinitas soluções

Assinale a alternativa correta:

a   apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira

b   apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira

c   apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira

d   apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

e   apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras

Ver solução completa

Sejam v → , w → , z →   ∈ V 3 vetores tais que v → e w → sejam ambos ortogonais a z → .

Suponha que:

v → + w → + z → 2 = v → 2 + w → 2 + z → 2

E considere as seguintes afirmações:

I   z → = 0 → ;

I I   v →   e   w →   s ã o   o r t o g o n a i s

I I I   v →   e   w →   s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s .

a   apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira

b   apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira

c   apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira

d   apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras

e   apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

Ver solução completa

Seja α ∈ R e considere o sistema linear

x + a y + z = a x + y + z = 1 x + y + a z = a 2

Nas incógnitas reais x , y   e   z . Temos que esse sistema possuirá uma única solução se, e somente se:

a )   a ≠ 1 ;

b )   a = 1

c )   a ≠ 0

d )   a = 0

e )   0 < a < 1

Ver solução completa

Seja a ∈ R e considere os vetores

u 1 → = 1 , - a , - 1 B ,     u 2 → = a , 1 , - 1 B ,     u 3 → = 1,1 , 1 B

Em que B é uma base de V 3 . Pode-se afirmar que:

a )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3 ;

b )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   1 ≤ a < 3

c )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   - 2 < a < - 1

d )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   3 ≤ a < 5

e )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   5 ≤ a < 7

Ver solução completa

Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:

v → = 1 , - 1,2 B     e       w → = 3 , - 1,1 B

Seja z → o vetor paralelo a v → tal que w → - z → seja ortogonal a v → . A norma do vetor 2 z → - w → é igual a:

a )   11

b )   10

c )   12

d )   √ 7

e )   √ 8

Ver solução completa

Sejam v → , w → , z →   ∈ V 3 vetores tais que v →   e   w → sejam ambos ortogonais a z → ,

v → = 3   ,     w → = 4 ,     z → = 5  

E a medida do ângulo entre v →   e   w →   seja igual a π 3 . Temos que v → + w → - z → é igual a:

a )   62

b )   10

c )   5  

d )   4

e )   5

Ver solução completa

Em E 3 , sejam π 1   e   π 2 planos cujas interseção é uma reta r. Sejam n 1 →   e n 2 → vetores não-nulos de V 3 tais que n 1 → ⊥ π 1 e n 2 → ⊥ π 2 , e seja v → ∈ V 3 um vetor não-nulo paralelo a r. Considere as seguintes afirmações:

I .   O s   v e t o r e s   v →   e   n 1 → ∧ n 2 → são paralelos

I I .   B = n 1 →   ,   n 2 → , v → é uma base ortogonal de V 3

I I I .   O   c o n j u n t o   v → , v →   ∧   n 1 → ,   v →   ∧   n 2 →   é linearmente independente

Está correto o que se afirma em

a )     I   e   I I ,   a p e n a s

b )   I , I I   e   I I I

c )   I   e   I I I ,   a p e n a s

d )   I I ,   a p e n a s

e )   I I I ,   a p e n a s

Ver solução completa

Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2016P1 - 2020P2 - 2018P1 - 2021P2 - 2020PSUB - 2017P1 - 2022P2 - 2021P2 - 2022PREC - 2018