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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

USP, 2017, P1, 10

Sejam v → , w → , z → ∈ V 3 vetores linearmente dependentes. Considere as seguintes afirmações:

I   o s   v e t o r e s   v → - w → , v → + 3 z → , w → - 2 z →     s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s

I I   o   v e t o r   v →   é   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   w →   e   z →

I I I   s e   v →   e   z →   f o r e m   n ã o   n u l o s   e   n ã o   p a r a l e l o s ,   e n t ã o   w →   s e r á   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   v →   e   z →

Assinale a alternativa correta

a   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I   e   I I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

b   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I   e   I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

c   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I I   e   I I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

d   a p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I I I   é   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a ;

e   a p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I   é   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a ;

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar mais uma questãozinha, primeiro vamos olhar a afirmação (I):

I   o s   v e t o r e s   v → - w → , v → + 3 z → , w → - 2 z →     s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s

Essa afirmação é verdadeira, inclusive é muito comum aparecer questões assim. Para checarmos isso bora usar a ideia de determinante. Dizemos que v → , w → , z → são vetores linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por v → , w → , z → nas colunas é zero. Ou seja, se tomarmos v = x v , y v , z v ,   w = x w , y w , z w   e   z = x z , y z , z z ,   t e m o s :

x v x w x z y v y w y z z v z w z z = 0

Agora, vamos lembrar que podemos fazer combinações das colunas de uma matriz que seu determinante não mudará, o que aparece na ideia de escalonamento, vamos olhar para:

x v - x w x w - 2 x z 3 x z + x v y v - y w y w - 2 y z 3 y z + y v z v - z w z w - 2 z z 3 z z + z v

Que é uma matriz dos vetores v → - w → , v → + 3 z → , w → - 2 z → , podemos dizer que esse determinante é zero, pois ele pode sair de combinações de x v x w x z y v y w y z z v z w z z , ou seja possui mesmo valor de determinante. Logo, como já foi dito, por conta do determinante da matriz de vetores ser zero, dizemos que os vetores são L.D, por isso a afirmação é verdadeira.

Passo 2

Bora para a próxima afirmação

I I   o   v e t o r   v →   é   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   w →   e   z →

Essa afirmação e falsa, basta tomarmos um exemplo:

v = 1,0 , 0 ,     w = z = 0,1 , 0

Veja que como w → = z → temos que os 3 vetores formam um conjunto L.D, porém não conseguimos escrever v → a partir de w → e z → , logo a afirmação é falsa.

Passo 3

E bora para a última afirmação:

I I I   s e   v →   e   z →   f o r e m   n ã o   n u l o s   e   n ã o   p a r a l e l o s ,   e n t ã o   w →   s e r á   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   v →   e   z →

Essa afirmação é verdadeira. Para checarmos isso vamos fazer uma prova por contradição.

Vamos tomar:

v →   ,   z →     n ã o   n u l o s   e   n ã o   p a r a l e l o s   →   w →   n ã o   s e r á   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   v →   e   z →

Nosso objetivo aqui é chegar num absurdo. Assim está provado que a afirmação é verdadeira.

Veja que se v →   ,   z →     n ã o   n u l o s   e   n ã o   p a r a l e l o s podemos olhar para o espaço gerado por eles, no caso será um plano. Se w →   n ã o   s e r á   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   v →   e   z → teríamos um vetor fora do plano gerado por v →   ,   z → . O que é um absurdo, pois nesse caso teríamos que os 3 vetores são L.I, que é um absurdo pois no enunciado ele diz que são L.D, ou seja, provamos por contradição que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Letra A

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .