USP, 2017, P1, 1
Seja um subconjunto de com quatro elementos e assuma que todo possa ser escrito como combinação linear dos elementos de A. Considere as seguintes afirmações:
O conjunto A possui um subconjunto com três elementos que é uma base de ;
existe um vetor pertencente ao conjunto A que é combinação linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A
Assinale a alternativa certa
apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;
Passo 1
Falaaaa, blz??? Bora começar essa provinha já com uma boa questão que envolve conceitos importantes. Vamos primeiro notar que estamos falando, nesse problema, sobre o espaço , vale lembrarmos que esse espaço possui dimensão 3, ou seja, as suas bases possuem 3 vetores linearmente independentes.
Bora começar analisando as afirmações:
Veja que pela hipótese do problema, o nosso conjunto A consegue gerar o espaço , uma vez que todo cara de é escrito como combinação dos vetores de A, vamos tomar um espaço e um subconjunto com essa característica e checar?
Tome e
Nesse caso, veja que A gera o V, uma vez que qualquer vetor de pode ser escrito da forma:
Além disso, temos que o vetor nulo não está em A, logo a afirmação está incorreta.
Passo 2
Bora para a próxima afirmação??
O conjunto A possui um subconjunto com três elementos que é uma base de ;
Essa aqui é engraçado, pois basicamente usamos isso na de cima.
Para fazermos essa, vamos lembrar o seguinte conceito:
B é uma base de B possui 3 vetores linearmente independentes = Qualquer elemento de V é gerado por combinação dos 3 vetores de B.
Como tem dimensão 3, se conseguimos pegar 3 vetores L.I dele, o conjunto dos vetores irá gerar
Pelo enunciado, temos que A gera , porém possui 4 elementos, para ser considerado uma base ele deve possuir 3. Mas como todo vetor de é gerado por A, podemos tomar, por exemplo:
, isso ocorre pois , com isso, tomando:
É um conjunto de 3 elementos, no qual, todo elemento de V sai deles 3, ou seja, é uma base de
Passo 3
existe um vetor pertencente ao conjunto A que é combinação linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A
Essa é falsa, basta tomarmos o mesmo exemplo da primeira afirmação.
Tome e
Veja que nenhum elemento de A é combinação de outros 2 de A. Contrariando a afirmação
Logo, a alternativa correta é a letra A, bora para a próxima???
Resposta
Letra A