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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

USP, 2017, P1, 8

Sejam v → , w → , z →   ∈ V 3 vetores tais que v →   e   w → sejam ambos ortogonais a z → ,

v → = 3   ,     w → = 4 ,     z → = 5  

E a medida do ângulo entre v →   e   w →   seja igual a π 3 . Temos que v → + w → - z → é igual a:

a )   62

b )   10

c )   5  

d )   4

e )   5

Passo 1

Falaaaaa, blz??? Bora para mais uma questão perguntando sobre módulo de vetores. Essa questão é parecida com a questão 4 dessa mesma prova. Veja que ela fala do módulo de vetores e ângulo entre vetores, esses conceitos aparecem quando a gente usa uma operação, lembra qual??

Vamos usar nesse problema o conceito de produto escalar, para isso vamos relembrar algumas propriedades:

i )   v → ∙ u → = u → ∙ v →   e   a v → ∙ b u → = a b v → ∙ u →

i i )   v → + u → ∙ w → = v → ∙ w → + u → ∙ w →

i i i )   v → ∙ u → = 0   ↔   v → ⊥ u →

i v )   u → 2 =   u → ∙ u →

Passo 2

Bora aplicar isso na questão.

Usando a última propriedade:

v → + w → - z → 2 = v → + w → - z → 2 = v → + w → - z → ∙ v → + w → - z →  

Agora vamos aplicar a primeira e segunda:

v → + w → - z → ∙   v → + w → - v → + w → - z → ∙ z →

Aplicando novamente:

v → + w → ∙ v → + w → - v → + w → ∙ z → - v → + w → ∙ z → + z → ∙ z →  

Aqui vale lembrar que v → + w → ∙ z → = v → ∙ z → + w → ∙ z → = 0 ,   p o i s   v →   e   w → são ambos ortogonais a z →    

Passo 3

Agora com isso, temos que fica:

v → + w → - z → 2 = v → + w → ∙ v → + w → + z → ∙ z →  

Aplicando (iv) e (ii):

v → + w → - z → 2 = v → + w → ∙ v → + v → + w → ∙ w → +   z → 2

Novamente:

v → + w → - z → 2 = v → ∙ v → + w → ∙ v → + v → ∙ w → + w → ∙ w → +   z → 2  

= v → 2 + w → 2 + z → 2 + 2 w → ∙ v → = 9 + 16 + 25 + 2 4 3 cos ⁡ π 3 = 50 + 24 1 2 = 62  

Logo, se v → + w → - z → 2 = 62 →   v → + w → - z → = 62

E assim encerra mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra A

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