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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Exercício 171234567891011121314151618192021222324252627

Enunciado

USP, 2017, P1, 3

Sejam dados vetores v 1 → , v 2 → , v 3 →   ∈ V 3 e uma base B de V 3 . Considere o sistema linear

A x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3

Nas incógnitas reais x 1 , x 2   e   x 3 , em que A é a matriz 3 × 3 cujas colunas são v 1 → B , v 2 → B   e v 3 → B e b 1 ,   b 2   e   b 3 são números reais dados. Considere também as seguintes afirmações:

I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução;

I I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução se, e somente se, b 1 = b 2 = b 3 = 0 ;

I I I se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente dependentes, então esse sistema linear possuirá infinitas soluções

Assinale a alternativa correta:

a   apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira

b   apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira

c   apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira

d   apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

e   apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras

Passo 1

Falaaaa, blz??? Bora começar essa questão envolvendo um sisteminha linear. Para começar vamos escrever B = u 1 → , u 2 → , u 3 → e:

v 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + a 31 u 3 = a 11 , a 21 , a 31 B

v 2 = a 1 2 u 1 + a 2 2 u 2 + a 3 2 u 3 = a 1 2 , a 2 2 , a 3 2 B

v 3 = a 1 3 u 1 + a 2 3 u 2 + a 3 3 u 3 = a 1 3 , a 2 3 , a 3 3 B

Dai, temos:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Passo 2

Colando isso no sistema:

A x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 1 b 2 b 3

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

Bora deixar isso ai e analisar as afirmações:

I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução;

Bom, essa afirmação é verdadeira, basta lembrarmos que se o determinante da matriz formada pelos coeficientes do sistema possui determinante diferente de zero, então possuirá solução. Além disso, temos que:

d e t a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33   ≠ 0 , pois d e t a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = V o l u m e   P a r a l e l e p i p e d o gerado pelos vetores v 1 ,   v 2   e   v 3 , como eles são L.I, podemos afirmar que esse paralelepípedo existe e possui volume diferente de zero.

Passo 3

Agora bora analisar a segunda informação:

I I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução se, e somente se, b 1 = b 2 = b 3 = 0 ;

Vamos tomar v 1 = 1,0 , 0 ; v 2 = 0,1 , 0 ; v 3 = ( 0,0 , 1 ) e B a base canônica, sendo b 1 , b 2 , b 3 reais quaisquer diferente de zero

Nesse caso, temos:

1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = b 1 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 = b 2 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 = b 3

Ou seja

x 1 = b 1 x 2 = b 2 x 3 = b 3

Logo, temos uma solução, que é x 1 , x 2 , x 3 = b 1 , b 2 , b 3 ≠ ( 0,0 , 0 )

Então essa afirmação é falsa, bora para a próxima?

Nessa aqui vamos tomar, novamente, um exemplo:

Tomando v 1 = 1,0 , 0 ; v 2 = 0,1 , 1 ; v 3 = 1 , 1 , 1   ,     v e j a   q u e   s ã o   L . D   v 3 = v 1 + v 2    

b 2 = 1   e   b 3 = 2

1 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 = b 1 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 1 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 2

Ajustando:

  x 1 + x 3 = b 1 x 2 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2

Veja que pelas duas últimas equações, já podemos afirmar que o sistema não possui solução.

Ou seja, temos que a afirmação é falsa

Deixando assim, nosso gabarito sendo a letra A. Questãozinha um pouco chata, mas no final deu tudo certo, bora para a próxima?

Resposta

Letra A

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .