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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2017, P1, 6

Seja a ∈ R e considere os vetores

u 1 → = 1 , - a , - 1 B ,     u 2 → = a , 1 , - 1 B ,     u 3 → = 1,1 , 1 B

Em que B é uma base de V 3 . Pode-se afirmar que:

a )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3 ;

b )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   1 ≤ a < 3

c )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   - 2 < a < - 1

d )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   3 ≤ a < 5

e )   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   5 ≤ a < 7

Passo 1

Falaaa, blz??? Bora fazer essa questãozinha envolvendo base de um espaço. Para começar, vamos relembrar o que é necessário para uma família de vetores ser base de V 3 .

B = u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   u m a   b a s e   d e   V 3   ↔ u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e .

Passo 2

Agora, falando isso fica mais evidente o que queremos. Para tratar com esse problema, vamos relembrar o conceito de L.I:

Dizemos que u 1 → , u 2 → , u 3 → é L.I se a única solução para a equação:

α u 1 → + β u 2 → + γ u 3 → = 0 →   é   α = β = γ = 0

Ou seja: α 1 , - a , - 1 + β a , 1 , - 1 + γ 1,1 , 1 = 0

Que nos dá:

α + β a + γ = 0 - α a + β + γ = 0 - α - β + γ = 0

Da última, temos que: γ = α + β

Ou seja:

α + β a + ( α + β ) = 0 - α a + β + ( α + β ) = 0

2 α + β ( a + 1 ) = 0 α ( 1 - a ) + 2 β = 0

Da primeira:

β = - 2 α a + 1

Colocando na segunda:

α 1 - a + 2 - 2 α a + 1 = 0 → α 1 - a a + 1 - 4 α a + 1 = 0

Ajustando

α 1 - a a + 1 - 4 a + 1 = 0

Aqui, temos que o numerador deve ser zero:

α 1 - a a + 1 - 4 = 0  

Veja que temos duas possibilidades, α = 0   o u   1 - a a + 1 - 4 = 0

A primeira opção nos daria o que queremos, ou seja α = β = γ = 0

Passo 3

A segunda, ficaria:

1 - a a + 1 - 4 = 0

Agora vamos usar a seguinte fatoração:

a 2 - b 2 = a - b a + b

Aplicando isso:

1 - a a + 1 - 4 =   1 - a 1 + a - 4 = 1 - a 2 - 4 = 0

a 2 = - 3 → i m p o s s í v e l ,   p o i s   a ∈ R

Logo, a solução da equação é α = β = γ = 0

Ou seja, o conjunto u 1 → , u 2 → , u 3 → é L.I, e como estão dentro de V 3 podemos afirmar que é uma base desse espaço.

Agora bora para a próxima questão??

Resposta

Letra A

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .