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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Exercício 191234567891011121314151617182021222324252627

Enunciado

USP, 2017, P1, 4

Sejam v → , w → , z →   ∈ V 3 vetores tais que v → e w → sejam ambos ortogonais a z → .

Suponha que:

v → + w → + z → 2 = v → 2 + w → 2 + z → 2

E considere as seguintes afirmações:

I   z → = 0 → ;

I I   v →   e   w →   s ã o   o r t o g o n a i s

I I I   v →   e   w →   s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s .

a   apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira

b   apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira

c   apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira

d   apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras

e   apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

Passo 1

Falaa, blz?? Essa questão envolve vetores ortogonais e módulo. Lembra de algum conceito que liga os 2?? Caso não lembre, vou te ajudar, vamos usar produto escalar para resolver o problema, para isso vamos lembrar algumas propriedades:

i )   v → ∙ u → = u → ∙ v →

i i )   v → + u → ∙ w → = v → ∙ w → + u → ∙ w →

i i i )   v → ∙ u → = 0   ↔   v → ⊥ u →

i v )   u → 2 =   u → ∙ u →

Agora bora aplicar isso na questão...

Passo 2

Começando usando (iv):

v → + w → + z → 2 = v → + w → + z → ∙ v → + w → + z → =

Agora usando (ii):

= v → + w → + z → ∙ v → + v → + w → + z → ∙ w → + v → + w → + z → ∙ z →

Aplicando novamente:

=   v → ∙ v → + w → ∙ v → + z → ∙ v → + v → ∙ w → + w → ∙ w → + z → ∙ w → + v → ∙ z → + w → ∙ z → + z → ∙ z →

Agora vamos aplicar i i i   e   i v :

v → 2 + w → 2 + z → 2 + 2 ( w → ∙ v → )

Passo 3

Agora vamos usar isso que achamos com a equação do enunciado:

v → + w → + z → 2 = v → 2 + w → 2 + z → 2 + 2 w → ∙ v → = v → 2 + w → 2 + z → 2

Da segunda igualdade, temos que:

2 w → ∙ v → = 0

Aplicando (iii), achamos que v → ⊥ w →

Logo, temos que a afirmação correta é a segunda, dando o gabarito letra A

Resposta

Letra A

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .