P3 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.1

O ângulo formado pelos vetores e satisfaz:

Seja o espaço gerado pelos vetores , e . Qual a dimensão do complemento ortogonal de ?

Assinale abaixo o vetor que possui a menor norma:

Seja uma matriz quadrada, , um vetor não-nulo tal que e . Qual dos vetores abaixo não pertence à imagem de , a matriz transposta de ?

Seja uma matriz sobrejetiva, cujo núcleo tem dimensão e cuja imagem tem dimensão . Quais as dimensões da matriz ?

é

é

é

é

Seja o subespaço do gerado pelos vetores e . Queremos escrever como um núcleo de uma matriz, isto é, procura-se uma matriz tal que . Se definirmos

então pode ser construída:

Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas colunas de .

Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas linhas de .

Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas colunas de .

Computando uma base do núcleo de e colocando os vetores desta base nas linhas de .

Seja um subespaço vetorial do . (Projeções e reflexões desta questão são ortogonais.) Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. A transformação obtida primeiro projetando em e depois refletindo em torno de é diferente da transformação obtida primeiro refletindo em torno de e depois projetando em .
2. A reflexão de em torno de é dada pela fórmula , onde denota a projeção em .

é falsa e é verdadeira

Ambas são falsas

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Um sistema linear homogêneo com equações e variáveis pode representar em :

um ponto, uma reta, um plano, mas nunca um espaço tridimensional

um ponto, uma reta, um plano ou um espaço tridimensional

apenas um ponto, uma reta ou um plano

uma reta, um plano, mas nunca um único ponto

Seja o conjunto de vetores da reta , com e :

1. é o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vetor
2. Os vetores de são paralelos ao vetor

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Calcule a projeção ortogonal do vetor no plano gerado pelos vetores e :

Calcule a área do triângulo definido pelos vértices e :

Assinale a transformação linear abaixo, , cujo núcleo é a reta e cuja imagem é a reta

Seja uma matriz quadrada:

1. Se é injetiva, então é sobrejetiva
2. Se é invertível, então pode não ser invertível

Ambas são falsas

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

Sejam e vetores do e o ângulo entre eles:

1. Se , então é ortogonal ao vetor
2. Se os componentes de são todos menores que , em módulo, então

Ambas são verdadeiras.

Ambas são falsas.

é verdadeira e é falsa.

é falsa e é verdadeira.

Considere os vetores e . Assinale abaixo o vetor que está na direção de e possui o mesmo tamanho de :

Considere , e o conjunto :

1. é um plano de
2. é um subespaço vetorial de

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira