Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

A3 T8

Seja o conjunto de vetores da reta , com e :

é o complemento ortogonal do espaço gerado pelo vetor

Os vetores de são paralelos ao vetor

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Ambas são verdadeiras

Passo 1

Primeira coisa, como ele fala de vetor podemos assumir que estamos no .

Beleza!

O complemento ortogonal de uma reta é a reta ortogonal à ela certo? E pra achar essa reta é só pegarmos os coeficientes da reta e jogarmos num vetor, não é? Assim:

Então o vetor perpendicular a essa reta será o Então pra reta do enunciado:

Teremos que o vetor perpendicular é o !

SÓ QUE NÃO!!!!!!

Tentaram fazer uma master pegadinha aqui. Essa história dos coeficientes só vale quando a reta ou o plano passam na origem (que é quase sempre o caso aqui em álgebra)! Ou seja, quando temos uma equação homogênea do tipo:

A reta do enunciado tem uma constante do outro lado, então esse negócio de coeficientes não vale mais! Logo, a primeira alternativa é falsa.

Passo 2

II. Os vetores de são paralelos ao vetor

Os vetores de S são vetores que têm a direção da reta

Vamos ver quais vetores são esses.

Reescrevendo:

Logo, os vetores vão ter coordenadas:

E não são paralelos à

Por isso a afirmação II também é falsa.

Resposta

Letra

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19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.