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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A1 T8 T24

Seja A uma matriz quadrada:

  1. Se A é injetiva, então A T é sobrejetiva
  2. Se A é invertível, então A T pode não ser invertível

a   Ambas são falsas

b   Ambas são verdadeiras

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Se A é quadrada e injetiva, então ela é sobrejetiva. Como a dimensão da imagem de A e de A T são iguais, A T também será sobrejetiva porque a matriz é quadrada e a dimensão do contra domínio de A é igual à de A T :

A   i n j e t i v a   e   q u a d r a d a ⇒ A   s o b r e j e t i v a ⇒ dim ⁡ I m A = dim ⁡ C D o m A

dim ⁡ I m A = dim ⁡ I m A T

A   q u a d r a d a ⇒ dim ⁡ C D o m A = dim ⁡ C D o m A T

Juntando todas essas informações:

dim ⁡ I m A T = dim ⁡ C D o m A T ⇒ A T   s o b r e j e t i v a

Essa é verdadeira.

Afirmativa I I :

Se A for invertível necessariamente A T será invertível! Existe até uma propriedade da matriz inversa que diz que:

A T - 1 = A - 1 T

Ou seja, se A é invertível, o inverso de A T será a transposta de A - 1 . Logo, essa é falsa.

Resposta

Letra c