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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

A2 T11 T12

Assinale a transformação linear abaixo, T : R 2 → R 2 , cujo núcleo é a reta x + 2 y = 0 e cuja imagem é a reta x + y = 0

a   T x , y = x + y , - x - y

b   T x , y = x + 2 y , 2 x + 4 y

( c ) T x , y = x - y , 2 x - 2 y

( d ) T x , y = x + 2 y , - x - 2 y

Passo 1

Se o núcleo é a reta x + 2 y = 0 então se pegarmos um vetor dessa reta, por exemplo o 2 , - 1 e aplicarmos na T L , teremos:

T 2 , - 1 = 0,0

Então vamos testar:

a T 2 , - 1 = 1 , - 1

b T 2 , - 1 = 0,0

c T 2 , - 1 = 3 , 6

d T 2 , - 1 = 0,0

Já eliminamos duas letras. Vamos verificar a imagem agora!

Passo 2

Como a imagem é a reta x + y = 0 , se pegarmos qualquer vetor que não esteja no núcleo e aplicarmos a T L nele, temos que obter um vetor dessa reta! Vamos usar o 1,1 por exemplo:

b T 1,1 = 3,6 ∉ x + y = 0

d T 1,1 = 3 , - 3 ∈ x + y = 0

Logo, nossa resposta é a d .

Resposta

Letra ( d )

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