P2 de Cálculo 2 da UFRJ - 2018.1

Seja

Então é igual a:

O gráfico da função

Possui um plano tangente em ?

SIM e a equação deste plano é

NÃO, uma vez que não é uma função contínua

SIM e a equação deste plano é

SIM e a equação deste plano é

NÃO, uma vez que as derivadas parciais de não são contínuas

Usando uma aproximação linear, temos que o valor estimado de

É:

Considere a função

Podemos dizer que

existe e varia com .

existe e varia com .

Seja uma curva dada implicitamente por , para alguma função continuamente diferenciável, e seja um ponto em . Considere vetores

E suponha que e que seja tangente a em . Neste caso

vale

Considere duas funções e continuamente diferenciáveis, definidas em todo o plano . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de em só intercepta o gráfico de no ponto e que intercepta o gráfico de em um único ponto, que é mínimo global de , indique a afirmatica correta:

Não há informações suficientes para deduzirmos se é um ponto crítico de ou não.

é um ponto crítico de que necessariamente é um ponto de sela.

é um ponto crítico de que pode ser de máximo, de mínimo ou de sela.

não é um ponto crítico de .

é um ponto crítico de que necessariamente é um ponto de máximo ou de mínimo global.

Deseja fabricar-se uma caixa de papelão retangular, sem tampa, com volume . Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão a ser utilizado?

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Será que existe uma função continuamente diferenciável cujas derivadas parciais sejam

NÃO, pois se e então deveria valer para todo , o que é falso.

NÃO, uma vez que

NÃO, pois e , o que não ocorre para funções polinomiais

SIM, pois uma função possui dois graus de liberdade, definidos pelas variáveis e . Esses dois graus de liberdade geram dois graus de liberdade para as derivadas parciais.

SIM, bastando para isso ajustar as constantes de integração em e em

Seja

Para que possua um ponto de sela, deve satisfazer:

Seja

Para qual dos valores abaixo temos a derivada direcional ?

Seja a superfície de equação , onde é diferenciável em . Se a reta

É normal a em , então

Vale:

Considere a função

Que mede a temperatura em de um corpo no espaço. Uma partícula percorre a trajetória dada por

Passando pelo ponto no instante com veor velocidade . A taxa de variação da temperatura da partícula, quando ela se encontra sobre o ponto , será:

14

8

6

Os valores máximo e mínimo absolutos de

Na região

São, respectivamente