UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 9
Seja uma curva dada implicitamente por , para alguma função continuamente diferenciável, e seja um ponto em . Considere vetores
E suponha que e que seja tangente a em . Neste caso
vale
Passo 1
Vamos por partes.
Vamos começar vendo o que a gente pode tirar dessa informação de derivada direcional.
A fórmula da derivada direcional é:
O vetor nós sabemos e o valor da derivada direcional também. Nesse caso, nossa incógnita fica sendo as derivadas parciais de , que é exatamente o que queremos descobrir.
Substituindo o que temos, ficamos com:
Passo 2
Show.
Agora a outra informação é que é um vetor tangente a curva de nível 2 da função .
Sabemos, das propriedades geométricas do vetor gradiente, que ele é perpendicular a curva de nível de uma função.
Assim, o vetor gradiente de , que é o que queremos saber, é perpendicular ao vetor .
Isso significa que o produto escalar entre eles tem que ser nulo.
Então
Passo 3
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,
Assim,
Resposta
Letra