UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 12
Deseja fabricar-se uma caixa de papelão retangular, sem tampa, com volume . Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão a ser utilizado?
80
Passo 1
Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.
Digamos que as dimensões da caixa são e . Então o volume da caixa é .
Agora vamos analisar o que de fato queremos na questão. Queremos minimizar a quantidade de papelão usado, ou seja, queremos minimizar a área de papelão da nossa caixa.
Essa área total é a soma das áreas de cada lado da caixa, né? E cada par de lados tem sua área e suas dimensões. Então vamos achar a área de cada par de lados!
Para os lados 1 e 2, temos que a área é:
Para os lados 3 e 4 temos que a área é:
E para o fundo da caixa temos que a área é:
Assim, a área total da caixa é:
Então, resumindo tudo, queremos minimizar a função área total:
Restrita ao volume
Vamos usar Lagrange!
Passo 2
Vamos calular os gradientes da função e da função :
E
Passo 3
Apliando multiplicador de Lagrange:
Acrescentando a condição , obtemos o sistema
Multiplicando a 1ª equação por , a 2ª por e a 3ª por , obtemos:
Logo:
Passo 4
Vamos separar essa equação em duas:
Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então , e . Considerando isso, pelas equação temos:
E a equação nos dá:
Assim,
Passo 5
Ótimo! Então usando a restrição obtemos
Então para e temos:
Só achamos uma solução: . Então esse é o ponto que minimiza a quantidade de papelão a ser utilizado.
Resposta
Letra