Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 7
Considere a função
Podemos dizer que
existe e varia com .
existe e varia com .
Passo 1
Vamos tentar calcular
Se tentar simplesmente substituir vai dar shabu né, vamos ficar com a indeterminação .
Beleza, agora, cá entre nós, essa questão é muito estranha. Você reparou que nas opções parece que elas estão dizendo que um limite que depende do caminho pode existir??
Pois é, e parece que elas estão dizendo isso mesmo, mas na verdade, o que elas querem dizer é se o limite de uma função de uma variável existe ou não. Pois, repara que ele coloca só “quando ”.
Então, o que a gente tem que analisar é se para um valor de ou , se o limite da função de uma variável que se origina por substituirmos ou ou existe ou não...
E na letra a gente tem o limite de uma função de duas variáveis mesmo.. Aí nesse caso sim a gente precisa ver se calculando por caminhos diferentes, se dá coisas diferentes.
Passo 2
Vamos começar pela letra então.
Primeiro vamos testar o caminho :
Agora o cominho :
Viu? Dois caminhos diferentes, dois resultados diferentes, logo, esse limite de duas variáveis não existe.
Passo 3
Show. Agora vamos olhar as outras letras. Lembrando que nas outras opções a gente tem que pensar na nossa função como uma função de uma variável.
Vamos começar pela letra , tentando calcular o limite
Logo, de fato, pensando em como uma constante (e não como um caminho diferente), esse limite de uma variável existe e tem valores direfentes conforme os valores de mudem.
Essa é nossa resposta então, mas vamos olhar só mais uma opção pra gente ver porque as outras opções não poderiam ser verdade.
Passo 4
Vamos calcular o limite
Então esse limite existe, mas ele não varia conforme varia o valor de .
O mesmo ocorre para o limite
Quer dizer, o limite só vai depender do valor da constante, quando o expoente que tiver do for tal que consigamos igualar os graus do numerador e do denominador. Porque assim da pra cortar do numerador e do denominador e nosso limite fica variando apenas com o valor da constante.
Passo 5
Confuso né?
Parece que a UFRJ vacilou com uma questão dessas de limite de uma variável em pleno calculo de várias variáveis .-.
Mas a vida tem dessas né, ainda bem que a gente conseguiu resolver!
Resposta
Letra