UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 6
Seja a superfície de equação , onde é diferenciável em . Se a reta
É normal a em , então
Vale:
Passo 1
Se a reta
É normal a superfície , então o vetor diretor dessa reta é também um vetor normal a essa superfície.
EPA EPA, mas aí a questão quer saber sobre vetor gradiente da função cujo gráfico é a superfície .
Como que a gente relaciona essas duas coisas?
Passo 2
Lembra das propriedades geométricas do vetor gradiente?
Elas dizem pra gente que o vetor gradiente é perpendicular a uma superfície.
É justamente disso que a gente precisava, né?!
Temos então um vetor normal a superfície , que é o vetor diretor da reta normal , e descobrimos agora que o vetor gradiente de também é normal a superfície .
Agora é só a gente comparar esses dois vetores.
Passo 3
Podemos encontrar o vetor diretor da reta normal reescrevendo a parametrização da reta de outra forma, veja:
E o vetor diretor é aquilo que tá multiplicando o parâmetro , então:
E esse vetor é normal a superfície .
Passo 4
O outro vetor que é normal a superfície é o vetor gradiente de :
Lembrando que é a superfície que é gráfico de , ou seja, é a superfície .
Assim,
Passo 5
Comparando os dois vetores, eles precisam ser múltiplos, pois ambos são normais a , logo, ambos são paralelos:
Igualando as componentes:
Da ultima equação tiramos que
Substituindo nas duas primeiras equações:
Passo 6
Agora, somando com :
Resposta
Letra