Seja

f(x, y, z) = x^2 + x*y^3 + y^e^z

Para qual dos valores abaixo temos a derivada direcional D_u f(1, 1,0) = 1 ?

a u = (raiz(2) / 2, raiz(2) / 2, 0)

b u = (1,0, 0)

c u = (0,1, 0)

d u = (0,0,1)

e u = (raiz(3) / 3, raiz(3) / 3, raiz(3) / 3)

Passo 1

A fórmula da derivada direcional é

D u → f x , y , z = ∇ f x , y , z . u → u →

O vetor gradiente a gente consegue calcular, pois temos a expressão de f . Substituindo o vetor gradiente e o valor da derivada direcional, nossa incógnita será o vetor u → , que é exatamente o que queremos descobrir!

Passo 2

Calculando o gradiente de f :

f x , y , z = x 2 + x y 3 + y e z

∇ T x , y , z = ( 2 x + y 3 , 3 y 2 x + e z , y e z )

Substituindo no ponto P = ( 1,1 , 0 ) :

∇ f 1,1 , 0 = ( 2.1 + 1 3 , 3 . 1 2 . 1 + e 0 , 1 . e 0 )

∇ f 1,1 , 0 = ( 3,4 , 1 )

Passo 3

Agora vamos substituir nossos dados na fórmula da derivada direcional:

D u → f 1,1 , 0 = 3,4 , 1 . u → u → = 1

Vamos dar uma olhadinha nas opções da questão e pensar:

Temos que fazer um produto escalar entre um vetor cujas componentes sabemos quais são (que é o vetor gradiente) e um vetor que não sabemos quais são as componentes, muito menos seu módulo, mas queremos descobrir. E esse produto escalar tem que dar 1.

Oras, a ultima componente do vetor que sabemos é 1, assim, se as duas primeiras componentes do vetor que não sabemos fossem 0 e a última fosse 1, teríamos o melhor dos mundos, pois o módulo desse vetor seria unitário e as duas primeiras componentes dele anulariam as duas primeiras componentes do vetor gradiente e sobraria só 1 × 1 = 1 .

E se a gente olhar nas opções, até que a questão foi legal com a gente, pois tem uma opção que é exatamente assim!

u → = ( 0,0 , 1 )

E, de fato, como todos os vetores tem módulo unitário,

D u → f 1,1 , 0 = 3,4 , 1 . ( x u , y u , z u ) 1 = 1

3 x u + 4 y u + z u = 1

A única opção que satisfaz essa equação é a letra d .

Passo 4

Só um obs: se você acha que o que fizemos aqui não seria algo que você pensaria na hora da prova, você ainda teria a opção de testar todas as opções e calcular a derivada direcional em todas elas.

Nem levaria tanto tempo assim, pois todas as opções dos vetores tem módulo unitário.

Resposta

Letra d

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