UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 3
Seja
Para qual dos valores abaixo temos a derivada direcional ?
Passo 1
A fórmula da derivada direcional é
O vetor gradiente a gente consegue calcular, pois temos a expressão de . Substituindo o vetor gradiente e o valor da derivada direcional, nossa incógnita será o vetor , que é exatamente o que queremos descobrir!
Passo 2
Calculando o gradiente de :
Substituindo no ponto :
Passo 3
Agora vamos substituir nossos dados na fórmula da derivada direcional:
Vamos dar uma olhadinha nas opções da questão e pensar:
Temos que fazer um produto escalar entre um vetor cujas componentes sabemos quais são (que é o vetor gradiente) e um vetor que não sabemos quais são as componentes, muito menos seu módulo, mas queremos descobrir. E esse produto escalar tem que dar 1.
Oras, a ultima componente do vetor que sabemos é 1, assim, se as duas primeiras componentes do vetor que não sabemos fossem 0 e a última fosse 1, teríamos o melhor dos mundos, pois o módulo desse vetor seria unitário e as duas primeiras componentes dele anulariam as duas primeiras componentes do vetor gradiente e sobraria só .
E se a gente olhar nas opções, até que a questão foi legal com a gente, pois tem uma opção que é exatamente assim!
E, de fato, como todos os vetores tem módulo unitário,
A única opção que satisfaz essa equação é a letra .
Passo 4
Só um obs: se você acha que o que fizemos aqui não seria algo que você pensaria na hora da prova, você ainda teria a opção de testar todas as opções e calcular a derivada direcional em todas elas.
Nem levaria tanto tempo assim, pois todas as opções dos vetores tem módulo unitário.
Resposta
Letra