UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 10
Será que existe uma função continuamente diferenciável cujas derivadas parciais sejam
NÃO, pois se e então deveria valer para todo , o que é falso.
NÃO, uma vez que
NÃO, pois e , o que não ocorre para funções polinomiais
SIM, pois uma função possui dois graus de liberdade, definidos pelas variáveis e . Esses dois graus de liberdade geram dois graus de liberdade para as derivadas parciais.
SIM, bastando para isso ajustar as constantes de integração em e em
Passo 1
Quando eu li as opções dessa questão eu fiquei tipo: WTF????
Vou contar pra você como eu fiz pra resolver isso.
Dentre todas elas, a única que remeteu a algo que eu saiba em relação a derivadas parciais foi a letra ...
Daí eu falei, beleza, vou tentar verificar se isso é verdade mesmo.
Passo 2
Vamos verificar juntos:
A derivada parcial em relação a é
E a derivada parcial em relação a
Vamos fazer as derivadas parciais mistas disso aí.
OWWW, mas que negócio é esse? Deu diferente, mas o enunciado disse que a função deveria ser continuamente diferenciável. Então isso aí tinha que dar igual.
E assim eu conclui que a letra tava me falando a verdade: não dá pra existir uma função continuamente diferenciável se as derivadas parciais mistas dela forem diferentes. Fui olhar no gabarito e pimba! Resposta certa, uhul!
Resposta
Letra