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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

A curva C parametrizada por

r t = e t cos ⁡ t , e t sen ⁡ t , e t ,   t ∈ R

Está contida em

  1. Um cone com vértice no ponto ( 0,0 , 0 )
  2. Um plano
  3. Uma efera com centro no ponto ( 0,0 , 0 )
  4. Um paraboloide
  5. Um cilindro

Passo 1

Temos que descobrir a equação cartesiana que essa equação paramétrica representa. Ou seja, precisamos descobrir uma equação que relacione x ,   y ,   z a partir dessa equação onde x , y , z estão escritos em função do parâmetro t .

Vamos lá?

O que temos é

x t = e t cos ⁡ t

y t = e t sen ⁡ t

z t = e t

Passo 2

Se observarmos com carinho, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = e t cos ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = ( e t ) 2

z ( t ) = e t

Logo:

x 2 t + y 2 ( t ) = z 2 ( t )

Então essa é curva está contida em um cone com vértice na origem.

Resposta

Letra ( a )

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica