Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Seja uma função diferenciável em . Considere a função . Então é correto afirmar que:
- Se e então não é possível concluir se possui valor extremo local em
- Se e então tem ponto de máximo em
- Se e então tem ponto de máximo em
- Se e então tem ponto de mínimo em
- Se e então tem ponto de mínimo em
Passo 1
Nossa função é uma função composta. Assim, para fazermos a derivada dela, temos que usar a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Passo 2
Agora as opções falam sobre “se alguma derivada primeira for nula e uma derivada segunda for maior que zero, então...”
Ok, o que sabemos até agora é que a derivada da função composta em relação a depende da derivada parcial de em relação a .
Então vamos olhar para as opções que falam sobre a ser nula.
Se o que acontece é que a derivada da composta também se aula. E isso é condição necessária para a função ter máximo ou mínimo.
Otimo, parece que estamos num bom caminho.
Passo 3
Agora vamos analisar a segunda parte dessas opções.
“...e então não é possível concluir se possui valor extremo local em ”
“...e então tem ponto de máximo em ”
“... e então tem ponto de mínimo em ”
Bom, lá pelo teste da derivada segunda, (lembrando que nossa função composta é uma função de uma variável só), diz que se então o ponto é um ponto de mínimo da função.
Assim, a resposta certa é a que diz que tem ponto de mínimo em .
Resposta
Letra