Considere a curva
Andando sobre a curva a partir do ponto ao longo de um arco de comprimento igual a , chegaremos ao ponto:
- Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Falou de comprimento de arco, vamos jogar na fórmula de comprimento de arco.
Beleza, agora o que que a questão nos dá?
Bom, ela nos dá:
• O comprimento do arco:
• O ponto inicial do arco:
A partir desse ponto inicial, a gente consegue igualar as componentes às compotentes da curva e encontrar o . Show!
E agora o que que a gente pede pra gente?
• O ponto final do arco.
Com todas as infos que temos, vamos jogar tudo na fórmula do comprimento do arco e nossa incógnita será o . Daí quando encontrarmos o , poderemos substituir na parametrização da curva e encontramos o tal do ponto final do arco que queremos saber, beleza?!
Vamos lá então.
Passo 2
Igualando a curva ao ponto inicial:
Desse sistema encontramos que
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada da curva e o módulo da derivada, pra poder substituir na fórmula do comprimento do arco.
Calculando o módulo:
Passo 4
Substituindo tudo o que temos agora na fórmula do comprimento do arco:
Precisamos resolver essa integral, que já sabemos que vale , para encontrar o valor de .
Mas, antes de você se descabelar todo e começar a correr em círculos porque não faz ideia como vai resolver uma integral com essa raíz ai dentro, eu te digo, CALMA. Respira e repara que na real, isso aí é um quedrado perfeito (UHUL)!
Então significa que a gente pode fazer isso daqui oh:
Daí agora podemos cortar quadrado com raiz e tudo fica lindo e maravilhoso e nossa integral fica molinha molinha.
Porém, como , o não pode ser uma resposta.
Passo 5
Agora, para descobrir o ponto final, é só a gente substituir
Na parametrização da curva:
Resposta
Letra