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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 181234567891011121314151617192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Considere as afirmativas sobre a função

z = f x , y = x 5 y + x y 5 + x y

  1. f possui três pontos críticos distintos
  2. f possui exatamente um ponto crítico e este é um ponto de mínimo local
  3. Há ao menos um ponto crítico de f que é ponto de sela
  1. Todas as afirmações são verdadeiras
  2. As afirmações I e III são verdadeiras e a afirmação II é falsa
  3. As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira
  4. As afirmações I e III são falsas e a afirmação II é verdadeira
  5. As afirmações II e III são falsas e a afirmação I é verdadeira

Passo 1

OPA, falou de ponto crítico vamos tentar o teste da derivada segunda.

Pra isso, vamos começar achando as derivadas parciais

f x , y = x 5 y + x y 5 + x y

f x = 5 x 4 y + y 5 + y

f y = x 5 + 5 y 4 x + x

Normalmente a gente igualaria a zero para achar os pontos críticos, mas essas derivadas estão lokonas, entçao eu acho que achar os pontos críticos disso vai ser difícil. Vamos continuar e achar as derivadas segundas e tentar fazer o teste da derivada segunda de forma genérica e vê o bicho que da...

Passo 2

Calculando as derivadas segundas:

f x = 5 x 4 y + y 5 + y

f x x = 20 x 3 y

f y = x 5 + 5 y 4 x + x

f y y = 20 y 3 x

f x y = 5 x 4 + 5 y 4 + 1  

Passo 3

Aplicando o teste da derivada segunda, de forma genérica:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 20 x 3 y 5 x 4 + 5 y 4 + 1 5 x 4 + 5 y 4 + 1 20 y 3 x

H P 0 = 20 x 3 y . 20 y 3 x - 5 x 4 + 5 y 4 + 1 . 5 x 4 + 5 y 4 + 1

H P 0 = 400 x 4 y 4 - ( 25 x 8 + 25 x 4 y 4 + 5 x 4 + 25 x 4 y 4 + 25 y 8 + 5 y 4 + 5 x 4 + 5 y 4 + 1 )

H P 0 = 400 x 4 y 4 - ( 25 x 8 + 50 x 4 y 4 + 10 x 4 + 25 y 8 + 10 y 4 + 1 )

OH MY GOD

Que loucura é essa?

Você deve tá pensando isso né?

Eu sei, pq eu tbm to hahahah

Mas aí, vamos analisar com calma.

Passo 4

Uma coisa que a gente pode dizer com certeza é que no ponto ( 0,0 ) H P 0 = - 1 < 0

Logo, se ( 0,0 ) for um ponto crítico, então ele é um ponto de sela.

Opa, mas pera!

( 0,0 ) É um ponto crítico!

Olha só, se pegarmos as derivadas parciais do passo 1 e igualarmos a zero, vemos que x = 0 e y = 0 atende ao sistema!

f x = 5 x 4 y + y 5 + y = 0

f y = x 5 + 5 y 4 x + x = 0

Logo, podeos afirmar com certeza que a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Continuando.

As outras alternativas falam sobre a quantidade de pontos críticos que nossa função tem.

Mas assim, o sistema que a gente teria que resolver pra achar os pontos críticos nós já vimos o quão assustados é né...

Então vamos confiar, a questão não faria isso com a gente. Ela só queria testar a sua malandragem em usar o teste da derivada segunda de forma genérica e sacar que a origem é um ponto crítico fácil de identificar.

Resposta

Letra ( c )

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1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 3 - 3 x 2 y + 27 y
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