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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

Questão 1: Seja z = z x uma função diferenciável tal que

z ' - z x = x ln ⁡ x

Então z x ' =

  1. ln ⁡ x
  2. - ln ⁡ x
  3. - ln ⁡ x x
  4. - x 2 ln ⁡ x
  5. x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Bem, vamos aqui começar resolvendo a nossa EDO:

z ' - z x = x ln ⁡ x

Como é uma EDO de primeira ordem como esta geral zona aqui:

z ' + P x z = B x

Podemos resolvê-la pelo fator integrante! Bora?

Passo 2

Calculando o fator integrante então, onde ele é dado por I x ...

I x = e ∫ P x d x   →

I x = e ∫ - 1 x d x = e - ln ⁡ x   →

I x = e ln ⁡ x - 1 = x - 1 = 1 x

Dado isso, a fórmula geral da solução então é essa daqui:

z = 1 I x ∫ I x B x d x + C →

z = 1 1 x ∫ x ln ⁡ x x d x + C   →

z = x ∫ ln ⁡ x d x + C  

Na verdade não precisa calcular essa integral, pois nos estamos interessados mesmo é na derivada! Olha só...

Passo 3

Queremos z / x ' ...

z x = ∫ ln ⁡ x d x + C   →

z x ' = d d x ∫ ln ⁡ x d x + C   →

z x ' = ln ⁡ x

Viu só! E a coroa da resposta correta vai para a letra A !

Resposta

a ) ln ⁡ x

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