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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Exercício 110123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Considere a função

f x , y = x 2 y 2

Definida na região D dos pontos ( x , y ) que satisfazem a relação

x 2 + y 2 ≤ 4

Então

  1. O valor mínimo absoluto de f em D é 0 e o valor máximo absoluto de f em D é 4. Há uma infinidade de pontos de mínimo e 4 pontos de máximo em D .
  2. O valor mínimo absoluto de f em D é 0 e o valor máximo absoluto de f em D é 4. Há um ponto de mínimo e 4 pontos de máximo em D .
  3. O valor mínimo absoluto de f em D é 0 e o valor máximo absoluto de f em D é 2. Há um ponto de mínimo e uma infinidade de pontos de máximo em D .
  4. O valor mínimo absoluto de f em D é 0 e o valor máximo absoluto de f em D é 4. Há 4 pontos de mínimo e 4 pontos de máximo em D .
  5. Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Verificar se há algum ponto crítico no interior da região D :

Calcular gradiente da função:

f x , y = x 2 y 2

∇ f x , y = 2 x y 2 , 2 y x 2

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ 2 x y 2 , 2 y x 2 = 0,0

Igualando termo a termo:

2 x y 2 = 0   2 y x 2 = 0

Pensa comigo... Se x = 0 , por exemplo, qualquer valor de y satisfaria esse sistemas, certo? Já que 2.0 . y = 0 e 2.0 . y 2 = 0 . Logo, teríamos o conjunto de pontos ( 0 , y ) .

E se y = 0 ? O mesmo acontece, qualquer valor de x ali daria certo! Então, também temos o conjunto de pontos ( x , 0 ) . Beleza? Tooodos os dois conjuntos são pontos críticos!

Substituindo ( 0 , y ) na equação da curva:

x 2 + y 2 ≤ 4

⇒ 0 2 + y 2 ≤ 4

⇒ y ≤ 2

Essa desigualdade é verdadeira. Logo, o ponto está no interior da região D !

O mesmo acontece com ( x , 0 ) :

x 2 + y 2 ≤ 4

⇒ x 2 + 0 2 ≤ 4

⇒ x ≤ 2

Que, também, está correto!

Passo 3

Vamos verificar máximos e mínimos na fronteira da região:

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x 2 + y 2 = 4

⇒ x 2 + y 2 - 4 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x 2 + y 2 - 4

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x y 2 , 2 y x 2 = λ 2 x ,   2 y

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x y 2 = λ 2 x   2 y x 2 = λ 2 y

Já podemos tirar dois resultados logo de cara:

x = 0

Da primeira equação, e

y = 0

Da segunda equação. Ambos os pontos fazem parte daqueles conjuntos que vimos no passo 2, que são ( x , 0 ) e ( 0 , y ) .

Tirados esses resultados, podemos cortar 2 x e 2 y dos dois lados de cada uma das duas equações. Assim, ficamos com

y 2 = λ   x 2 = λ

Ou seja

x 2 = y 2

x = y

Passo 8

Substituindo isso na equação da curva:

x 2 + y 2 = 4

x 2 + x 2 = 4

2 x 2 = 4

x = ± 2

Então

y = ± 2

Temos, portanto, os pontos

( x , 0 )

( 0 , y )

( 2 , 2 )

( - 2 , - 2 )

( 2 , - 2 )

( - 2 , 2 )

Passo 9

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

f x , y = x 2 y 2

Substituindo x , 0 :

f 0,0 = x 2 0 2 = 0

Substituindo 0 , y :

f 0,0 = 0 2 y 2 = 0

Substituindo ( ± 2 , ± 2 )

f ± 2 , ± 2 = ± 2 2 ± 2 2

f ± 2 , ± 2 = 4

Substituindo ( ∓ 2 , ∓ 2 )

f ∓ 2 , ∓ 2 = ∓ 2 2 ∓ 2 2

f ∓ 2 , ∓ 2 = 4

Então o valor máximo é 4 . E o valor mínimo é 0 .

E existem 4 pontos de máximos. E, como nós temos um conjunto infinito de ponto que fazem parte do valor mínimo (os conjuntos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) ), teremos infinitos pontos de mínimo em D .

Resposta

Letra ( a )

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