Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

Considere o triângulo de vértices A = 0,0 , 1 , B = 1,2 , 1 , C = ( 1,0 , 1 ) . O comprimento da bissetriz interna desse triângulo relativa ao vértice C é

a) 5 2 6

b) 2 2

c) 2 2 3

d) 4 2 5

e) 3 2 4

Passo 1

E aííí galera, tudo certo? Vamos lá matar esse probleminha

Temos esse triângulo aqui olha:

Onde A = 0,0 , 1 , B = 1,2 , 1 , C = ( 1,0 , 1 ) . E aí queremos encontrar o comprimento da bissetriz interna em relação ao vértice C .

A bissetriz interna vai cortar o ângulo em duas partes iguais. Ou seja, queremos o comprimento desse segmento verde:

Então, tendo o vetor C D , queremos encontrar o módulo dele.

Para encontrarmos o vetor C D → , precisamos encontrar o ponto D . Esse ponto pode ser visto como a intersecção da reta da bissetriz com uma reta que passa por A B (a base do triângulo)

Encontrando essa intersecção, temos o ponto D . E aí podemos encontrar o vetor C D → e calcular o seu módulo. Vamos lá?

Passo 2

Vamos lá pessoal. Queremos encontrar o tamanho desse segmento verde:

Vamos começar imaginando duas retas: uma ( r ) que é a continuação dessa bissetriz e outra ( s ) que passa pela base A B do triângulo

Como a reta r divide o vértice C em ângulos iguais, o seu vetor diretor r → pode ser escrito como

r → = C A ^ + C B ^

Onde

C A ^ = C A → C A → = A - C C A → = ( - 1,0 , 0 ) 1 2 = ( - 1,0 , 0 )

C B ^ = C B → C B → = B - C C B → = ( 0,2 , 0 ) 2 2 = ( 0 , 1 , 0 )

Então, um vetor diretor de r é

r → = - 1,0 , 0 + 0 , 1 , 0 = - 1 , 1 , 0

Belezinha colega, já temos o vetor diretor da reta que forma a bissetriz 😉

Passo 3

Já temos o vetor diretor de r , ele vai ser - 1 , 1 , 0 . E sabendo que a reta r passa pelo ponto C = 1,0 , 1 , uma equação pra ela é

r : X = 1,0 , 1 + λ . - 1 , 1 , 0 ,       λ ∈ R

Legal, mas isso ainda não é suficiente para encontrarmos o ponto D . Precisamos da equação da reta s também.

O vetor diretor de s é o vetor A B → , onde:

A B → = B - A = 1,2 , 0

Sabendo que a reta s passa pelo ponto A = 0,0 , 1 , uma equação dela é

s : X = 0,0 , 1 + μ   . 1,2 , 0 ,       μ ∈ R

Ebaaa, já temos as equações das duas retas!

Agora vamos encontrar a intersecção entre elas para encontrarmos o ponto D

Passo 4

O ponto D é a intersecção entre as retas:

r : X = 1,0 , 1 + λ . - 1 , 1 , 0 ,       λ ∈ R

s : X = 0,0 , 1 + μ   . 1,2 , 0 ,       μ ∈ R

Para encontrarmos essa intersecção, basta igualarmos as equações das retas:

1,0 , 1 + λ . - 1 , 1 , 0 = 0,0 , 1 + μ   . 1,2 , 0

1 - λ , λ , 1 = μ   , 2 μ   , 1

Então, igualando as coordenadas, temos esse sistema:

1 - λ = μ λ = 2 μ 1 = 1

Boaa! Os valores de μ e λ que satisfizerem esse sistema vão ser os valores que dão o ponto de intersecção nas equações de s e r , respectivamente.

Da segunda equação, temos

λ = 2 μ

Substituindo na primeira equação:

1 - 2 μ = μ

3 μ = 1

μ = 1 3

Substituindo μ = 1 3 na equação de s , temos o ponto de intersecção das retas:

X = 0,0 , 1 + μ   . 1,2 , 0

X = 0,0 , 1 + 1 3   . 1,2 , 0

X = 0,0 , 1 + 1 3 , 2 3 , 0 = 1 3 , 2 3 , 1

Logo, encontramos o ponto D :

D = 1 3 , 2 3 , 1

Passo 5

Agora que temos o ponto D = 1 3 , 2 3 , 1 e o ponto C = 1,0 , 1 , podemos encontrar o vetor C D → . Ele vai ser:

C D → = D - C = 1 3 - 1 , 2 3 - 0 ,   1 - 1 = - 2 3 , 2 3 , 0

Então, o tamanho do vetor C D → vai ser:

C D → = - 2 3 2 + 2 3 2 + 0 2 = 4 9 + 4 9 = 8 9

Então

C D → = 8 9 = 4 ∙ 2 3 = 2 2 3

Ufa! Acabamos hahaha

Então a alternativa correta é a letra C

Resposta

c) 2 2 3

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