USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, P2 - 2017, Questão 15
Considere as retas e dadas respectivamente pelas equações:
e
Temos que e são:
a) concorrentes;
b) reversas e ortogonais;
c) coincidentes;
d) reversas e não ortogonais;
e) paralelas e distintas.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bom?
Nessa questão recebemos as equações de duas retas:
E
Precisamos determinar qual a relação dessas duas retas, se são concorrentes, reversas, paralelas...
Pra fazer isso, vamos primeiro verificar se há intercessão entre as retas, depois identificamos quem são os vetores diretores dessas retas, e usamos produto escalar entre eles para saber se as retas são ortogonais ou não.
Passo 2
Para determinar se há intersecção entre as retas podemos encontrar a equação vetorial das retas.
Começando por , temos:
Fazendo , ficamos com:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas equações:
Logo:
Assim, se um ponto pertence a reta , vale:
Muito bom! Vamos agora para :
Fazendo tudo isso igual a , temos:
Logo, se um ponto pertence a , vale que:
Perfeito!
Passo 3
No passo anterior encontramos que:
Vamos verificar se há alguma intersecção entre essas retas:
Daí, temos pela coordenada:
E pela coordenada:
Logo:
O problema é que com essa solução, teríamos na primeira coordenada:
Ou seja, um absurdo matemático. Portanto, as retas não são concorrentes.
Passo 4
Além disso, vimos que:
Então, o vetor diretor da reta vale .
Já para , temos:
Então, o vetor diretor da reta vale . Portanto, vemos que as retas não são paralelas, já que e não são linearmente dependentes.
Para testar se as retas são ortogonais, podemos verificar o produto escalar dos vetores diretores. Se o produto for nulo, é porque elas são ortogonais.
Portanto, os vetores diretores também não são ortogonais.
Então, pensa comigo, elas não são concorrentes e nem paralelas, logo são???
Issoo, Reversas!
E, como os vetores diretores não são ortogonais, dizemos que elas são reversas e não ortogonais.
Prontinho, é isso pessoal! Obrigado pela atenção 😊
Resposta
Letra d).