Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

c) Determine equações paramétricas da reta r 3

Passo 1

Somando as equações planares de r 3 :

2 x + 3 z = 4

x = 2 - 3 2 z

Substituindo na primeira equação:

2 - 3 2 z + y + z = 3

y = 1 + 1 2 z

Passo 2

Então, a reta tem uma equação do tipo

x ,   y ,   z = 2 - 3 2 z ,   1 + 1 2 z ,   z

x ,   y ,   z = 2 ,   1 ,   0 + z . - 3 2 , 1 2 ,   1

Transformando z no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = 2 ,   1 ,   0 + λ . - 3 2 , 1 2 ,   1

Passo 3

Transformando nossa equação vetorial em paramétricas, temos:

r 3 :   x = 2 - 3 2 λ y = 1 + 1 2 λ z = λ

Resposta

r 3 :   x = 2 - 3 2 λ y = 1 + 1 2 λ z = λ

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