Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p cuja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

a) Determine explicitamente todos os pontos M da reta r tais que a área do triângulo de vértices P ,   Q ,   M seja 2.

Passo 1

A área do triângulo P Q M é dada por A = P Q → ∧ P M → 2

Temos que um ponto genérico da reta r é

M = 1 + t ,   2 + t ,   2 t

Então P M → = M - P = t ,   t ,   2 t enquanto P Q → = Q - P = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 2

Queremos que a área do triângulo seja 2, ou seja:

P Q → ∧ P M → 2 = 2

P Q → ∧ P M → = 4

O produto vetorial P Q → ∧ P M → é dado por P Q → ∧ P M → = ( - 3 t , -   t ,   2 t ) , então:

( 3 t ,   t ,   - 2 t ) = 4

Calculando o módulo desse vetor, temos

t 14 = 4

Então

t = ± 4 14

Passo 3

Nosso ponto M é escrito como M = 1 + t ,   2 + t ,   2 t , e encontramos dois valores de t que satisfazem que a área do triângulo seja 2. Vamos substituir em M , chegando em duas opções diferentes:

M ' = 1 + 4 14 ,   2 + 4 14 ,   8 14

M ' ' = 1 - 4 14 ,   2 - 4 14 ,   - 8 14

Resposta

M ' = 1 + 4 14 ,   2 + 4 14 ,   8 14

M ' ' = 1 - 4 14 ,   2 - 4 14 ,   - 8 14

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