Sabendo que o ponto   ( − 8 ,   − 8 ,   6 ,   k ) pertence à reta ( − 2 ,   − 2 ,   2 ,   2 )   +   s p a n   { ( − 3 ,   − 3 ,   2 ,   3 ) } , calcule o valor de k .

(A)   6

(B) 5

(C)   8

(D) 7

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar k tal que   ( − 8 ,   − 8 ,   6 ,   k ) pertence à reta ( − 2 ,   − 2 ,   2 ,   2 )   +   s p a n   { ( − 3 ,   − 3 ,   2 ,   3 ) }

Vamos nessa!!!

Passo 2

Bem se   ( − 8 ,   − 8 ,   6 ,   k ) pertence à reta ( − 2 ,   − 2 ,   2 ,   2 )   +   s p a n   { ( − 3 ,   − 3 ,   2 ,   3 ) } , então existe um t ∈ R tal que a equação abaixo é satisfeita

( − 2 ,   − 2 ,   2 ,   2 )   +   t ( − 3 ,   − 3 ,   2 ,   3 ) =   ( − 8 ,   − 8 ,   6 ,   k )

Já que todo ponto dessa reta é dada por

( − 2 ,   − 2 ,   2 ,   2 )   +   t ( − 3 ,   − 3 ,   2 ,   3 )

Ora se temos essa equação, isso implica que

( − 2 ,   − 2 ,   2 ,   2 )   +   t ( − 3 ,   − 3 ,   2 ,   3 ) =   ( − 8 ,   − 8 ,   6 ,   k )

⇔   ( − 3 t - 2 ,   − 3 t - 2 ,   2 t + 2 ,   3 t + 2 ) =   ( − 8 ,   − 8 ,   6 ,   k )

Mas temos uma igualdade de vetores e isso só é válido se as entradas dos vetores forem iguais uma a uma. Isso implica que

- 3 t - 2 = - 8

- 3 t - 2 = - 8

2 t + 2 = 6

3 t + 2 = k

Das três primeiras equações, obtemos que t = 2 . Logo para a quarta equação ser verdadeira é necessário que

3 t + 2 = k

⇒ 6 + 2 = k

Logo k = 8

Valor presente na alternativa c )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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